II. Cỏc tài liệu hỗ trợ:
1. Chứng minh quan hệ chia hết
Gọi A(n) là một biểu thức phụ thuộc vào n (n∈N hoặc n ∈Z)
a/ Để chứng minh A(n) chia hết cho m ta phân tích A(n) thành tích trong đó có một thừa số là m
+ Nếu m là hợp số ta phân tích m thành tích các thừa số đôI một nguyên tố cùng nhau rồi chứng minh A(n) chia hết cho tất cả các số đó
+ Trong k số liên tiếp bao giờ cũng tồn tại một số là bội của k
b/. Khi chứng minh A(n) chia hết cho n ta có thể xét mọi trờng hợp về số d khi chia m cho n
* Ví dụ1:
C/minh rằng A=n3(n2- 7)2– 36n chia hết cho 5040 với mọi số tự nhiên n Giải: Ta có 5040 = 24. 32.5.7 A= n3(n2- 7)2– 36n = n.[ n2(n2-7)2 – 36 ] = n. [n.(n2-7 ) -6].[n.(n2-7 ) +6] = n.(n3-7n – 6).(n3-7n +6) Ta lại có n3-7n – 6 = n3 + n2 –n2 –n – 6n -6 = n2.(n+1)- n (n+1) -6(n+1) =(n+1)(n2-n-6)= (n+1 )(n+2) (n-3) Tơng tự : n3-7n+6 = (n-1) (n-2)(n+3) d Do đó A= (n-3)(n-2) (n-1) n (n+1) (n+2) (n+3)
Ta thấy : A là tích của 7 số nguyên liên tiếp mà trong 7 số nguyên liên tiếp: - Tồn tại một bội số của 5 (nên A 5 )
- Tồn tại một bội của 7 (nên A 7 ) - Tồn tại hai bội của 3 (nên A 9 )
- Tồn tại 3 bội của 2 trong đó có bội của 4 (nên A 16)
Vậy A chia hết cho 5, 7,9,16 đôi một nguyên tố cùng nhau ⇒ A 5.7.9.16=
5040
Ví dụ 2: Chng minh rằng với mọi số nguyên a thì : a/ a3 –a chia hết cho 3
b/ a5-a chia hết cho 5 Giải:
a/ a3-a = (a-1)a (a+1) là tích của các số nguyên liên tiếp nên tích chia hết cho 3 b/ A= a5-a = a(a2-1) (a2+1)
• Cách 1:
Ta xết mọi trờng hợp về số d khi chia a cho 5 - Nếu a= 5 k (k∈Z) thì A 5 (1)
- Nếu a= 5k ±2 thì a2+1 = (5k±2)2 + 1 = 25 k2±20k +5 ⇒A 5 (3) Từ (1),(2),(3) ⇒A 5, ∀n ∈ Z
Cách 2:
Phân tích A thành một tổng của hai số hạng chia hết cho 5 : + Một số hạng là tích của 5 số nguyên liên tiếp
+ Một số hạng chứa thừa số 5
Ta có : a5-a = a( a2-1) (a2+1) = a(a2-1)(a2-4 +5) = a(a2-1) (a2-4) + 5a(a2-1) = a(a-1)(a+1) (a+2)(a-2)- 5a (a2-1)
Mà = a(a-1)(a+1) (a+2)(a-2) 5 (tích của 5 số nguyên liên tiếp ) 5a (a2-1) 5
Do đó a5-a 5
* Cách 3: Dựa vào cách 2: Chứng minh hiệu a5-a và tích của 5 số nguyên liên tiếp chia hết cho 5.
Ta có:
a5-a – (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2) = a5-a – (a2- 4)a(a2-1) = a5-a - (a3- 4a)(a2-1) = a5-a - a5 + a3 +4a3 - 4a = 5a3 – 5a 5
⇒ a5-a – (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2) 5
Mà (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2) 5 ⇒ a5-a 5(Tính chất chia hết của một hiệu)