II. Cỏc tài liệu hỗ trợ:
d/Ngoài ra còn dùng phơng pháp phản chứng, nguyên lý Dirichlê để chứng minh quan hệ chia hết.
minh quan hệ chia hết.
• VD 4: CMR tồn tại một bội của 2003 có dạng: 2004 2004 .2004…
Giải: Xét 2004 số: a1 = 2004 a2 = 2004 2004 a3 = 2004 2004 2004 ………. a2004 = 2004 2004 2004… 2004 nhóm 2004
Theo nguyên lý Dirichle, tồn tại hai số có cùng số d khi chia cho 2003. Gọi hai số đó là am và an ( 1 ≤ n <m ≤2004) thì am - an 2003 Ta có: am - an = 2004 2004……2004 000 00… m-n nhóm 2004 4n hay am - an = 2004 2004……2004 . 104n m-n nhóm 2004 mà am - an 2003 và (104n, 2003) =1 nên 2004 2004……2004 2003 m-n nhóm 2004 2. Tìm số d * VD1:Tìm số d khi chia 2100 a/ cho 9 b/ cho 25 Giải:
a/ Luỹ thừa của 2 sát với bội của 9 là 23 = 8 = 9 – 1
Ta có : 2100 = 2. 299= 2. (23)33 = 2(9 – 1 )33 = 2(BS9 -1) ( theo nhị thức Niu Tơn) = BS9 – 2 = BS9 + 7
Vậy 2100 chia cho 9 d 7
b/ Luỹ thừa của 2 gần với bội của 25 là 2 10 = 1024 =1025 – 1 Ta có:
2100 =( 210)10 = ( 1025 – 1 )10 = BS 1025 + 1 = BS 25 +1 (theo nhị thức Niu Tơn) Vậy 2100 chia cho 25 d 1
* VD2: Tìm 4 chữ số tận cùng của 51994 khi viết trong hệ thập phân Giải:
- Cách 1: Ta có: 1994 = 4k + 2 và 54 = 625
Ta thấy số tận cùng bằng 0625 khi nâng lên luỹ thừa nguyên dơng bất kì vẫn tận cùng bằng 0625
Do đó: 51994 = 54k+2=(54)k. 52 = 25. (0625)k = 25. ( 0625)= 5625… …
- Cách 2: Tìm số d khi chia 51994 ch 10000 = 24.54
Ta thấy 54k – 1 = (54)k – 1k chia hết cho 54 – 1 = (52 + 1) (52 - 1) 16
Ta có 51994 = 56(51988 – 1) + 56 mà 56 54 và 51988 – 1= (54)497 – 1 chia hết cho 16
⇒ ( 51994)3. 56(51988 – 1)chia hết cho 10000 còn 56= 15625
⇒51994 = BS10000 + 15625 ⇒ 51994 chia cho 10000 d 15625 Vậy 4 chữ số tận cùng của 51994 là 5625