M, K, N sao cho AM+CN =BK. Chứng minh 4 điểm M, N, K, D thẳng hàng.
2. Cho tứ diện ABCD. Chứng minh 4 trung điểm của 4 cạnh tứ diện AB, AC, DB, DC cùng nằm trong một mặt phẳng.
3. Cho hình bình hành ABCD và 4 điểm A’, B’, C’, D’ nằm cùng phía đối với mặt phẳng (ABCD) và thỏa mãn đồng thời các điều kiệnAA0//BB0//CC0//DD0 vàAA0+CC0 =BB0+DD0. Chứng minh A’, B’, C’, D’ cùng nằm trong một mặt phẳng.
4. Cho hình chóp SABCD có đáy là tứ giác lồi ABCD. Chúng minh rằng trọng tâm của 4 mặt bên hình chóp nằm trong cùng một mặt phẳng.
5. Cho hình chóp SABC có SA= SB =SC. Chứng minh rằng các tia phân giác trong của hai gócASB,[ BSC[ và tia phân giác ngoài của góc CSA[ cùng nằm trong một họ mặt phẳng.
15 Chứng minh sự thẳng hàng của 3 điểm 15.1 Phương pháp giải
Xem phương pháp giải mục 5.1 ở trang 23.
Ví dụ: Cho hình thang ABCD (AB song song CD) và tam giác CED nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi O là giao điểm hai đường chéo hình thang. Các điểm M, N là trung điểm CE, DE của tam giác CDE. Chứng minh rằng hai đường thẳng AM, BN cắt nhau tại I và ba điểm E, I, O thẳng hàng.
Giải
Rõ ràng MN song song CD và CD song AB, M không nằm trên AB, do đó MN song song AB. Tứ giác ABMN có hai đường chéo là
15.2 Bài tập 15 CHỨNG MINH SỰ THẲNG HÀNG CỦA 3 ĐIỂM
AM và BN nên chúng cắt nhau. Mặt khác OE là giao tuyến (AEC) và (BED) và I cũng đồng thời thuộc hai mặt phẳng đó nên I nằm trên OE.
A B C D E O M N I 15.2 Bài tập
1. Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Các điểm M, N, E, F là trung điểm AB, CD, AC, BD. Chứng minh MN và EF cắt nhau tại K và ba điểm D, G, E thẳng hàng.
2. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCDlà hình bình hành. Gọi A’, B’, C’, D’ là trung điểm SA, SB, SC, SD.
(a) Chứng minh BA’ và CD’ cắt nhau tại M; AB’ và DC’ cắt nhau tại N.
(b) Chứng minh M, N, S thẳng hàng.
3. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi I, J là trung điểm CE và DF.
(a) Chứng minh AI và BJ cắt nhau tại P.
(b) Gọi Q, R là trung điểm của DE, AB. Chứng minh rằng B, Q, R thẳng hàng.