- Nế ua < thì góc α tạo bởi đường thẳng y= ax +b với trục Ox được tính theo công thức như sau:
A. PHƯƠNG TRÌNH Dạng 1: Phương trình bậc nhất một ẩn.
D.2.3: Tìm giá trị của tham số khi biết điểm thuộc Parabol Tổng quát:
Tổng quát: Cho (P) y = ax2 (a 0≠ ) A(x0; y0) ∈(P) ⇔y0 = ax02. B(x1; y1) ∉(P) ⇔y1 ≠ ax12. Ví dụ 1: Cho (P) y = - 3x2.
Tìm trong các điểm sau, điểm nào thuộc (P). A(-1; - 3) ; B( 2; - 6); C( 3; 9); D(1
2;−3 4).
D.2.2: Tìm toạ độ điểm khi biết điểm thuộc Parabol.Ví dụ 1: Ví dụ 1:
Cho (P) y = −1 3x
2.
a) Tìm toạ độ điểm A biết A∈(P) và A có hoành độ là 3. b) Tìm toạ độ điểm B biết B ∈(P) có tung độ – 2.
Ví dụ 2:
Lập phương trình đường thẳng cắt (P) : y = 3x2 tại hai điểm có hoành độ lần lượt là 1 và 2
3.
D.2.3: Tìm giá trị của tham số khi biết điểm thuộc Parabol.Tổng quát: Tổng quát:
V× sù nghiÖp gi¸o dôc 2009 - 2010
Thay x = x0; y = y0 vào hàm số y = ax2 được y0 = ax02. Giải phương trình chứa ẩn là tham số. Ví dụ 1: Cho (P): y = (3m2 – 2m – 6)x2. Tìm m để A(2; 8)∈(P). Ví dụ 2: Cho (P) y = −1 2x 2. Tìm m để B(m; m2 – 5m – 5)∈(P). Ví dụ 3: Cho (P) y = f(x) = (m2 – 4m + 9)x2. a) So sánh f(-5) và f(-2) b) Tìm m để B(2; 20)∈(P). Bài làm: a) Ta có m2 – 4m + 9 = … = (m – 2)2 + 5 Do (m – 2)2≥0 ⇔ m2 – 4m + 9> 0 ∀m. ⇒Hàm số y = (m2 – 4m + 9)x2 nghịch biến với x < 0 Do – 5 < –2 ⇒f(–5) > f(–2).
Dạng 3: Tìm toạ độ giao điểm của Parabol với đường thẳng.
Tổng quát:
Cho (P) y = ax2 (a ≠0) (d) y = mx + n.
Xét phương trình hoành độ giao điểm ax2 = mx + n. Giải trình tìm x.
Thay giá trị vừa tìm được vào hàm số y = ax2 hoặc y = mx + n tìm được y. + Giá trị của x tìm được là hoành độ giao điểm.
+ Giá trị của y tìm được là tung độ giao điểm.
Ví dụ 1:
Tìm toạ độ giao điểm của (P) y = - 2x2 và (d) y = 2x – 4.
V× sù nghiÖp gi¸o dôc 2009 - 2010
Tìm toạ độ giao điểm của (P) y = 1 3x
2 và (d) y = 4x – 12.
Ví dụ 3:
Tìm toạ độ giao điểm của (P) y = 11x2 và (d) y = 4x – 5.
Dạng 4: Tìm số giao điểm của đường thẳng và Parabol.
Tổng quát:
Cho (P) y = ax2 (a ≠0) (d) y = mx + n.
Xét phương trình hoành độ giao điểm ax2 = mx + n. (*)
+ Phương trình (*) vô nghiệm (∆ < 0) ⇔(d) và (P) không có điểm chung. + Phương trình (*) có nghiệm kép (∆= 0) ⇔(d) tiếp xúc với (P).
+ Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt (∆ > 0 hoặc ac < 0) ⇔(d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
Ví dụ 1:
Cho (P): y = 1 2x
2.
(d): y = (m + 5)x – m + 2
Chứng minh rằng d luôn cắt P tại hai điểm phân biệt.
Ví dụ 2:
Cho (P): y = x2. Chứng minh rằng đường thẳng đi qua A(1; 7) luôn cắt P tại hai điểm phân biệt.
Ví dụ 3:
Cho (P): y = 1 2x
2.
(d): y = (m + 2n)x – 2mn (với m, n≠0).
Chứng minh rằng d luôn cắt P tại hai điểm phân biệt.
Dạng 5: Tìm giá trị của tham số khi biết số giao điểm hoặc toạ độ giao điểm của Parabol và đường thẳng.
Tổng quát:
Cho (P) y = ax2 (a ≠0) (d) y = mx + n.
Xét phương trình hoành độ giao điểm ax2 = mx + n. (*)
+ (d) và (P) không có điểm chung ⇔Phương trình (*) vô nghiệm (∆ < 0) + (d) tiếp xúc với (P) ⇔ Phương trình (*) có nghiệm kép (∆= 0)
V× sù nghiÖp gi¸o dôc 2009 - 2010
biệt (∆ > 0 hoặc ac < 0)
Ví dụ 1:
Cho (P): y = x2.
(d): y = 2(m + 3)x – m2 – m – 2 a) Tìm m để (d) và (P) tiếp xúc với nhau. b) Tìm m để (d) và (P) không có điểm chung. c) Tìm m để (d) và (P) cắt tại hai điểm phân biệt.
Ví dụ 2:
Cho (P) y = 1 4x
2.
(d): y = (2m + n)x + m – 2n – 1
Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm có hoành độ giao điểm là – 2, – 1
Ví dụ 3:
Cho (P): y = 1 3x
2.
(d): y = 2(m – 1)x 12m .
Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
Ví dụ 4:
Cho (P): y = (m2 – 5m + 3)x2.
Tìm m để (d1): y = 5x - 2 cắt (d2): y = – 2x + 5 tại một điểm trên (P).
Ví dụ 5:
Cho (P): y = −1 6x
2
Lập phương trình đường thẳng cắt (P) tại một điểm có hoành độ là 6 và song song với đường thẳng (d): y = 3x – 10.
Ví dụ 6:
Cho (P): y = (m – 2n + 3)x2
Tìm m và n để (P) cắt (d1): y = 3x + 2 tại một điểm có hoành độ là 2 và cắt (d2): y = 3x – 1 tại điểm có hoành độ là 1.
Ví dụ 7:
Cho (P): y = x2
(d): y = (5m2 – 21m + 16)x + m2 – 6m + 11
Tìm m để (P) cắt (d) tại hai điểm đối xứng với nhau qua trục tung.
V× sù nghiÖp gi¸o dôc 2009 - 2010
Cho (P): y = 4x2
(d): y = (4m + 3)x – m2 + 7m + 4 a) Tìm m để (d) và (P) có điểm chung.
b) Gọi x1, x2 là hoành độ giao điểm. Tìm m để x1, x2 là hai số nghịch đảo.
Ví dụ 9:
Cho (P): y = ax2
(d): y = (4m + 3)x – m2 + 7m + 4
a) Tìm a biết (P) đi qua điểm A(-1; 1). Vẽ (P) với giá trị của a vừa tìm được. b) Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A và có hệ số góc bằng 1. Tìm toạ độ giao điểm B (khác A) của (P) và (d).
c) Chứng tỏ ∆AOB vuông tại A. Tính độ dài đoạn AB và diện tích ∆AOB.
Chú ý: 1) A(x1; y1), B(x2; y2) thì AB = − 2 + − 2
1 2 1 2
(x x ) (y y )
2) Có hai cách để chứng minh ∆AOB vuông tại A.
Cách 1: Dùng định lí đảo của định lí Pi-ta-go: AB2 + OA2 = OB2.
Cách 2: Dùng quan hệ về hệ số góc.
(d1): y = ax + b; (d2): y = a’x + b’ (d1)⊥(d2) ⇔a.a’ = - 1
BÀI TẬP VỀ NHÀ:
Bài 1: Cho hàm số: y = (m + n)x + 2m – 3n + 5 (d1)
a) Tìm m, n để (d1) đi qua 2 điểm A(2; 6) và B(-1; - 6).
b) Tìm m, n để (d1) đi qua điểm C(- 2; 5) và song song với (d2): y = x – 5. c) Tìm m, n để (d1) trùng với (d3): y = - 5x + 5.
d) Tìm m, n để (d1) cắt (d4): y = mx + 3m + n tại điểm D(1; 9).
e) Tìm m, n để (d1) cắt (P): y = x2 tại hai điểm có hoành độ là 1 và 3.
f) Tìm m, n để (d1) cắt trục tung tại điểm có tung độ là 4 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là - 2.
Bài 2: Cho hàm số (d1): y = 1
2x + 3 và (d): y = - 3x + 3.
a) Vẽ đồ thị của hai hàm số trên cùng một mặt phẳng toạ độ. b) Tính góc tạo bởi (d1) và (d2) với trục Ox.
c) Gọi giao điểm của (d1) và (d2) là A, giao điểm của (d1), (d2) với trục hoành lần lượt là B và C. Tính chu vi và diện tích của ∆ABC.
Chú ý: Gọi α là góc tạo bởi đường thẳng (d): y = ax + b với trục Ox
+ a > 0 thì tgα = a.
+ a < 0 thì tg(1800 - α) = - a.
V× sù nghiÖp gi¸o dôc 2009 - 2010
b) Tìm m để (d1) và hai đường thẳng (d2) : y = 3x – 13 và (d3) : y = - 2x – 3 đồng quy.
c) Tìm m để (d1) cắt (d4): y = x + 21 tại một điểm trên trục tung. d) Tìm m để (d1) đi qua A (3 ; 4) và song song với (d5): y = - m2x – 1
e) Chứng minh rằng (d1) cắt (P): y = x2 tại hai điểm phân biệt. Gọi x1 ; x2 là hoành độ giao điểm của (d1) và (P). Tìm m để x12 + x22 = 15.
f) Tìm m để (d1) tạo với hai trục toạ độ 1 tam giác vuông cân. g) Tìm m để (d1) cắt (d6): y = - 3x + 1 tại một điểm trên trục tung.
Chú ý : 1) Hai đường thẳng cắt nhau trên trục tung thì a≠a’và b = b’.
2) Đường thẳng y = ax + b tạo với hai trục 1 tam giác vuông cân khi:
Cách giải: Đường thẳng y = ax + b tạo với trục Oy tại điểm M(0, b)
Đường thẳng y = ax + b tạo với trục Ox tại điểm N(−b a , 0)
Để ∆MON vuông cân thì OM = ON ⇔ b = −b
a
Kết luận: Đường thẳng y = ax + b tạo với hai trục 1 tam giác vuông cân khi: a = 1 và b ≠0 (hoặc a = - 1 và b ≠0)
Bài 4: Cho hàm số: y = 1
2x
2 (P)a) Vẽ đồ thị hàm số. a) Vẽ đồ thị hàm số.
b) Gọi A và B là hai điểm thuộc (P) có hoành độ lần lượt là: - 2 và 4. Lập phương trình đường thẳng AB.
c) Chứng minh đường thẳng (d1) đi qua điểm M(- 1; 3) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt C và D.
d) Gọi xC, xD lần lượt là hoành độ của C và D. Tìm phương trinh của (d1) để
+
2 2
C D
x x nhận giá trị nhỏ nhất.
e) Lập phương trình đường thẳng cắt (P) tại một điểm có hoành độ là 2 và song song với đường thẳng y = 3x + 5.
Bài 5: Cho hàm số y = (m – 2)x + 2 (d)
a) Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của m.
b) Tìm m để khoảng cách từ gốc toạ độ đến đường thẳng d bằng 1.
c) Tìm m để khoảng cách từ gốc toạ độ đến đường thẳng d nhận giá trị lớn nhất.
e) Tìm m để đường thẳng d tạo với 2 trục một tam giác có điện tích là 2.
V× sù nghiÖp gi¸o dôc 2009 - 2010
HỆ THỨC VI - ÉT
Phần I. Lý thuyết: