Theo các tác giả SGK, nội dung SGK mới rất quan tâm tới yếu tố vui học, gắn bài học với thực tế, đưa vào các mẩu chuyện về lịch sử Toán học nhằm tạo ra sự gần gũi, thân thiết, gây hứng thú học tập, từ đó giúp học sinh đạt kết quả học tập cao nhất. Việc tạo được niềm say mê, hứng thú trong học tập, bằng cách này hay cách khác chắc chắn sẽ đem lại kết quả học tập tốt hơn nhiều cho mỗi bạn. Các bạn có thể tự tạo hứng thú từ những nhận xét, phát hiện “nho nhỏ” trong quá trình học toán. Bài toán “con cá” là một ví dụ như vậy.
Trong sách Bài tập toán 7 (tập 1, trang 99) có bài tập số 13, nội dung như sau : “Trên hình vẽ có Ax song song với By, CAx = 50o, CBy = 40o. Tính ACB bằng cách xem nó là góc ngoài của một tam giác.” (xem hình 1) Lời giải của bài toán này xin nhường cho bạn đọc. ở đây tôi muốn trao đổi với các bạn một bài toán tổng quát hơn mà tôi thường gọi là bài toán “đầu cá”.
Bài toán 1 (bài toán “đầu cá”) : Hình 2 cho biết CAB > CAx, Ax // By. Chứng minh rằng : ACB = CAx + CBy.
Lời giải : Trên nửa mặt phẳng bờ AC chứa tia CB, vẽ tia Cm // Ax. Vì Ax // By
=> Cm // By => CAx = C1 ; CBy = C2 (so le trong). Vậy : CAx + CBy = C1 + C2 (1).
Theo giả thiết, ACB > CAx => ACB > C1 hay tia Cm nằm giữa hai tia CA và CB, do đó : ACB = C1 + C2 (2).
Từ (1) và (2) suy ra ACB = ACx + CBy.
Lời bình : + Bài toán 1 cho biết mối quan hệ giữa hai góc CAx, CBy với
ACB, không phụ thuộc vào số đo của các góc như ở bài toán đặt vấn đề. + Mấu chốt của lời giải là việc kẻ thêm đường phụ Cm song song với Ax. + Đối với học sinh lớp 7 mới được tập dượt chứng minh hình học, nhất là với kiến thức ở chương I - Đường thẳng vuông góc - Đường thẳng song song, thì
đây là một bài toán khá hay. Khai thác bài toán, ta có nhiều bài toán tương tự khá thú vị.
Bài toán 2 (bài 57 trang 104 SGK Toán 7, tập 1) : Cho hình vẽ (a // b), hãy tính
số đo x của góc O (xem hình 3).
Gợi ý : Sử dụng kết quả của bài toán “đầu cá”, ta chỉ cần tính OBb.
Từ đó dễ dàng giải được bài toán sau :
Bài toán 3 (bài 3, trang 91, SGK Toán 7, tập 2) : Xem hình 4, cho a // b, C = 44o, D = 132o. Tính số đo góc COD.
Chú ý : Tương tự các bạn có thể giải được một bài trong bài toán 5, trang 92,
SGK Toán 7, tập 2.
Bài toán 4 (bài toán “thân cá”) : Cho hình 5, biết Ax // By và CAx + ACB > 180o. Chứng minh rằng : CAx + ACB + CBy = 360o.
Gợi ý : + Kẻ tia đối Ax’ của tia Ax và tia đối By’ của tia By. Sử dụng kết quả của
bài toán “đầu cá”.
+ Cách khác : Kẻ Cm // Ax và chứng minh tương tự bài toán “đầu cá”.
Bài toán 5 : Cho hình 6, biết Ax // By và CBy > ACB. Chứng minh rằng : CBy = xAC + ACB.
Gợi ý : Kẻ tia Cm // Ax và chứng minh tương tự bài toán “đầu cá”.
Bài toán 6 : Cho hình 7, biết Ax // By và CBy > ACB. Chứng minh rằng : CAx + CBy - CAB = 180o.
Gợi ý : Kẻ Cm // Ax.
* Từ bài toán 1 đến bài toán 6 đều có các bài toán đảo thú vị đang chờ các bạn tiếp tục khám phá. Sau khi học bài “Tổng ba góc trong một tam giác” của
chương II, nếu thay đổi giả thiết của bài toán “đầu cá” : Ax không song song với By thì ta có bài toán sau.
Bài toán 7 (bài toán “đuôi cá”) :
Cho hình 8. Chứng minh rằng : ACB = MAC + MBC + AMB.
Gợi ý : Nối MC kéo dài về phía C, sử dụng tính chất góc ngoài của tam giác.
Kết hợp các bài toán trên, ta được bài toán “con cá” hoàn chỉnh.
Bài toán 8 (bài toán “con cá”) :
Cho hình 9. Tính các góc x, y, z.
Lời giải bài toán 8 dành cho bạn đọc.
Con đường đi đến bài toán “con cá” thật đơn giản nhưng rất lí thú phải không các bạn ?
LTS : Xuất phát từ bài 57 trang 104 SGK Toán 7, tập 1), thầy giáo Nguyễn Đức Tấn (TP. HCM) cũng đã tổng quát mối liên hệ giữa ba góc OAa, AOB, OBb (xem hình 3). Từ đó hình thành loạt bài toán tính số đo của một góc biết số đo của hai góc còn lại và các bài toán đảo.
TOÁN TUỔI THƠ 17
Các bạn đã học qua lớp 7 chắc chắn đều biết về các đường đồng quy của tam giác :
Định lí 1 : Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm ;
Định lí 2 : Ba đường phân giác của một tam giác cùng đi qua một điểm ;
Định lí 3 : Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm ;
Định lí 4 : Ba đường cao của một tam giác cùng đi qua một điểm.
SGK Toán 7 tập 2 đã sử dụng cùng một phương pháp chứng minh ba đường thẳng đồng quy để chứng minh định lí 2, định lí 3.
Phương pháp chứng minh này có thể mô tả khái quát như sau :
Ba đường thẳng a, b, c đồng quy nếu :
- Mọi điểm thuộc c đều có tính chất C và ngược lại. - Chứng tỏ giao điểm của a và b thỏa mãn tính chất C.
Các bạn cần lưu ý, quỹ tích các điểm thỏa mãn tính chất C chính là đường thẳng c.
Như vậy mấu chốt của phương pháp này chính là việc phát hiện ra tính chất C. Nếu ta phát hiện ra nhiều tính chất của đường thẳng c thì cũng có nghĩa là sẽ có nhiều cách chứng minh a, b, c đồng quy.
Ta sẽ áp dụng phương pháp này để chứng minh các định lí trên. * Chứng minh định lí 1 :
Cách 1 : - Bổ đề 1 : Trong một tam giác, quỹ tích trung điểm các đoạn thẳng nối hai điểm lần lượt nằm trên hai cạnh khác nhau, song song với cạnh thứ ba là trung tuyến thuộc cạnh thứ ba đó.
- Gọi AM, BN, CK lần lượt là các trung tuyến của ∆ABC ; G = BN ∩ CK. Qua G dựng DE // BC, FR // AB, PQ // AC (hình 1).
Theo bổ đề 1 ta có GF = GR ; GP = GQ. Từ đó dễ thấy ∆DQG = ∆FGP ; ∆FGP = ∆GRE (g.c.g) => ∆DQG = ∆GRE => DG = GE=> G Є AM (theo bổ đề 1).
Vậy AM, BN, CK đồng quy tại G. Định lí 1 được chứng minh.
Cách 2 : (hướng dẫn)
- Bổ đề 2 : Quỹ tích các điểm nằm trong một tam giác với các cạnh a, b, c, có tỉ số khoảng cách tới hai cạnh b, c là c/b là trung tuyến thuộc cạnh a.
- Gọi AM, BN, CK lần lượt là các trung tuyến của ∆ABC ; G = BN ∩ CK. Dựng GD AB, GE AC, GF BC.
Theo bổ đề 2 suy ra :
GD/GF = BC/AB ; GF/GE = AC/BC ;
=> GD/GE = GD/GF . GF/GE = BC/AC . AC/BC = AC/BC ; * Chứng minh định lí 2 : (sử dụng kết quả khác với SGK)
- Bổ đề 3 : Trong ∆ABC, DE // BC (D Є AB, E Є AC), quỹ tích điểm I thuộc DE sao cho ID/IE = AB/AC là đường phân giác AA1.
- Gọi AA1, BB1, CC1 lần lượt là các phân giác của ∆ABC ; I = BB1 ∩CC1. Qua I dựng DE // BC, FR // AB, PQ // AC (hình 2).
Từ bổ đề 3 suy ra :
IF/IR = BC/AC ; IQ/IP = AB/BC ;
Mặt khác, ta nhận thấy các tam giác IFP, RIE, QDI đôi một đồng dạng => ID/IE = ID/FP . FP/IE = IQ/IP . IF/IR = AB/BC . BC/AC = AB/AC. => ID/IE = AB/AC => I Є AA1 (theo bổ đề 3).
Vậy AA1, BB1, CC1 đồng quy tại I. Định lí 2 được chứng minh. * Chứng minh định lí 4 :
- Bổ đề 4 : Cho ∆ABC, N thuộc đường cao BB’ và K thuộc đường cao CC’ sao cho DE // BC (D Є AB, E Є AC). Quỹ tích điểm H thuộc DE sao cho HD/DE = BK2/CN2 là đường cao AA’.
Hướng dẫn : (hình 3)
Hai tam giác vuông ANC và AKB có NB’ ∩ AC ; KC’ ∩ AB => AN2 = AB’.AC ; AK2 = AC’.AB (1).
Hai tam giác vuông AB’B và AC’C đồng dạng vì có chung BAC => AB’.AC = AC’.AB (2).
Từ (1) và (2) => AN = AK.
Gọi M Є AA’ sao cho BMC = 90o tương tự ta có : AN = AK ; BM = BK ; CM = CN (3).
Xét tam giác vuông BMC, MA’ BC => BM2 = BA’.BC và CM2 = CA’.BC => BA'/CA' = BM2/CM2 = BK2/CN2 = HD/HE (theo bổ đề 3)
=> nếu H’ = DE ∩ AA’ thì H'D/H'E = BA'/CA' = HD/HE => H’ ≡ H.
Trở lại định lí 4 (hình 4)
- Gọi M, N, K lần lượt nằm trên các đường cao AA’, BB’, CC’ của ∆ABC sao cho BMC = ANC = AKB = 90o, H = BB’ ∩ CC’.
Qua H dựng DE // BC, FR // AB, PQ // AC.
Từ bổ đề 4 suy ra :
HQ/HP = AK2/CM2 ; HF/HR = BN2/AN2
Mặt khác, ta nhận thấy các tam giác HFP, RHE, QDH đôi một đồng dạng nên : HD/HE = HD/FP . FP/HE = HQ/HF . HF/HR = AK2/CM2 . BM2/AN2
=> HD/HE = BM2/CM2 (Do AK = AN) => H Є AA’ (theo bổ đề 4). Vậy AA’, BB’, CC’ đồng quy tại H.
Định lí 4 được chứng minh.
* Đề nghị bạn đọc chứng minh các bổ đề 1 ; 2 ; 3 và làm bài tập sau.
Bài tập : Trong một tam giác, đường thẳng đối xứng với đường trung tuyến qua
đường phân giác cùng xuất phát từ một đỉnh được gọi là đường đối trung của đỉnh đó. Chứng minh rằng trong tam giác, ba đường đối trung đồng quy.
TOÁN TUỔI THƠ 18