“Tam giác đồng dạng” là một chương quan trọng của sách Hình học 8. Trong bài viết này, tôi muốn giới thiệu một nhận xét quan trọng khi học chương Tam giác đồng dạng. Hi vọng rằng bài viết này sẽ giúp các bạn giải quyết một số dạng toán liên quan.
Nhận xét : Hai tam giác OAB và OA’B’ đồng dạng với nhau khi và chỉ khi hai
tam giác OAA’ và OBB’ đồng dạng với nhau (hình A).
Chú ý : Nhận xét trên chỉ đúng với hình A mà không đúng với hình B. Vì vậy, khi phát biểu ta đồng thời phải vẽ hình.
Dưới đây là loạt bài toán thể hiện vai trò của nhận xét trên.
Bài toán 2 : Về phía ngoài của ΔABC, vẽ các tam giác đều ABE và ACF. Gọi M,
N lần lượt là trung điểm của AE, CF. Gọi P là một điểm trên đoạn BC sao cho PB = 3PC.
Lời giải : (hình 1) Gọi H là hình chiếu của N trên AC. Vì Đ HCN = Đ NCA = 60o nên :
CH = 1/2.CN ; CN = 1/2.CA => CH = 1/4.CA (1) PB = 3PC => Cp = 1/4.CB (2)
Từ (1) và (2) => PH // AB (định lí Ta-lét đảo) <BR< ="">PH = 1/4.AB = 1/4.AE = 1/2.AM.
Mặt khác, vì ΔAHN vuông ở H, có góc HAN = 30o => HN = 1/2.AN. Vậy : PH/AM = HN/AN : (3)
Ta có : Đ PHN = Đ PHC + Đ CHN = Đ BAC + 90o = 60o + Đ BAC + 30o = Đ MAB + Đ BAC + Đ CAN = Đ MAN hay Đ PHN = Đ MAN. (4)
Từ (3) và (4) => ΔHPN đồng dạng với ΔAMN => ΔNPM đồng dạng với ΔNHA (theo nhận xét trên).
=> Đ MPN = 90o ; Đ PNM = 60o ; Đ NMP = 30o
Lời bình :
- Bài toán rất khó nếu chỉ dùng kiến thức tam giác bằng nhau.
- Bằng quan sát hình vẽ chính xác để dự đoán số đo các góc cần tính, ta dễ dàng kết hợp được với nhận xét trên để phát hiện ra điểm H.
Bài toán 2 : Cho ΔABC đều. Trên AB, AC lần lượt lấy các điểm E, F sao cho EF
// BC. Gọi O là tâm ΔAEF và I là trung điểm của EC. Tính các góc của ΔOIB.
Lời giải : Gọi H là trung điểm của EF (hình 2a). Ta có : ΔOHE vuông tại H, Đ OEH = 30o => OE = 2OH ; CF = BE mà HI là đường trung bình của EFC => FC = 2IH => BE = 2IH.
Đ OHI = Đ OHF + Đ FHI = Đ OHF + Đ AFH = 150o ;
Góc OEB = 180o - Đ OEA = 150o => Đ OHI = Đ OEB : (2)
Từ (1) và (2) => ΔOHI đồng dạng với ΔOEB => ΔOIB đồng dạng với ΔOHE (theo nhận xét trên).
Vậy : Đ OIB = 90o ; Đ BOI = 60o ; Đ OBI = 30o.
Lời bình : đây là một bài toán trong đề thi vô địch Liên Xô (cũ). Nhờ nhận xét
trên, ta đã tạo ra ΔOHI đồng dạng với ΔOEB. Ta cũng có thể tạo ra ΔOKI đồng dạng với ΔOAB (hình 2b).
Bài toán 3 : Về phía ngoài ΔABC dựng ΔABX đồng dạng với ΔCAY. Lấy điểm Z
sao cho A, Z nằm về một phía của BC và ΔCBZ đồng dạng với ΔABX. Chứng minh rằng : 4 điểm A, X, Z, Y hoặc thẳng hàng hoặc là 4 đỉnh của hình bình hành.
Lời giải : (hình 3)
Theo giả thiết, ΔABX đồng dạng với ΔCBZ => ΔBXZ đồng dạng với ΔBAC (theo nhận xét trên)
=> XZ/AC = BX/BA (1)
Tương tự, ΔABX đồng dạng với ΔCAY => BX/BA = AY/AC (2) Từ (1) và (2) => XZ/AC = AY/AC => XZ = AY (3)
Tương tự, YZ = AX (4)
Từ (3) và (4) => điều phải chứng minh.
Lời bình : Nhờ nhận xét trên, ta có thể giải bài toán khó này khá dễ dàng. Các
bạn lưu ý đây là bài toán khá “kinh điển” về tam giác đồng dạng.
Bài toán 4 : Cho ΔABC vuông tại A, đường cao AH. K nằm trên tia đối của tia
HA, L thuộc đoạn AC sao cho : AL/AC = KH/AH. Chứng minh rằng : Đ BKL = 90o.
Lời giải : Qua K kẻ đường thẳng song song với BC, cắt đường thẳng AB tại E
Ta có Đ AEK = Đ ABC = Đ CAH, mặt khác :
EB/EK = EB/AB.AB/HB.HB/EK = KH/AH.AB/HB.AH/AK = KH/AK.AB/HB = KH/AK.AC/AH &NBSP; (ΔABH đồng dạng với ΔCAH)
= KH/AH.AC/AK = AL/AC.AC/AK = AL/AK => EB/EK = AL/AK.
Vậy ΔKEB đồng dạng với ΔKAL.
=> ΔKEB đồng dạng với ΔKEA (theo nhận xét trên). => Đ BKL = Đ EKA = 90o
Bài toán 5 : Cho ΔABC. Về phía ngoài của tam giác, dựng các tam giác đều
MBC, NCA, PAB với tâm lần lượt là X, Y, Z. Chứng minh rằng : ΔXYZ đều.
Lời giải : (hình 5)
Ta có : ΔBMX đồng dạng với ΔBAZ ; ΔCMX đồng dạng với ΔCAY (cùng là các tam giác cân với góc ở đỉnh bằng 120o)
=> ΔBXZ đồng dạng với ΔBMA ; ΔCXY đồng dạng với ΔCMA (theo nhận xét trên).
=> Đ BXZ + Đ CXY = Đ BMA + Đ CMA = 60o : (vì ΔBCM đều) => Đ ZXY = Đ BXC - (Đ BXZ + Đ CXY) = 120o - 60o = 60o. Tương tự như trên, Đ XYZ = 60o.
Vậy : ΔXYZ đều.
Lời bình : Thông thường, bài toán này giải bằng kiến thức về đường tròn của
lớp 9. Nhờ nhận xét trên, các bạn lớp 8 đã có thể giải được bài toán này. TOÁN TUỔI THƠ 15
Bài toán 6 : Trên hai cạnh AB, BC của hình vuông ABCD lấy các điểm P, Q sao
cho PB = BQ. Điểm H là hình chiếu của B trên CP. Chứng minh rằng Đ DHQ = 90o.
Lời giải : (hình 6) Ta có :
Đ HCD = Đ HPB (so le trong) ; Đ HPB = Đ HBC (góc có cạnh tương ứng vuông góc) => Đ HCD = Đ HBC (1).
Mặt khác : CH/CD = CH/CB = BH/BP (ΔCHB đồng dạng với ΔBHP) = BH/BQ (2) Từ (1) và (2) => ΔHCD đồng dạng với ΔHBQ => ΔHDQ đồng dạng với ΔHCB (theo nhận xét ban đầu) => Đ DHQ = Đ CHB = 900.
Lời bình : Nhận xét ban đầu giúp ta nghĩ đến việc chứng minh ΔHCD đồng
dạng với ΔHBQ.
Bài toán 7 : Hai điểm M, N nằm trên các cạnh BC, CD của hình vuông ABCD
sao cho Đ MAN = 45o. Đoạn thẳng BD theo thứ tự cắt AM, AN tại E, F. Chứng minh rằng : các tam giác AEN, AFM vuông cân.
Lời giải : (hình 7) Gọi O là giao điểm của BD và AC. Ta có : Đ AOE = 90o = Đ ADN (1) ; Đ EAN = 45o =Đ CAD => Đ EAO =Đ DAN (2)
Từ (1) và (2) => : ΔAOE đồng dạng ΔADN => ΔAEN đồng dạng ΔAOD (theo nhận xét ban đầu) => ΔAEN vuông cân tại E (vì ΔAOD vuông cân tại O). Tương tự, ΔAFM vuông cân tại F.
Lời bình : Cũng với nhận xét này, ta có thể sử dụng các cặp tam giác đồng
dạng : ΔAEB đồng dạng ΔANC ; ΔAFD đồng dạng ΔAMC. Thông thường, bài toán trên phải sử dụng kiến thức về đường tròn của lớp 9.
Bài toán 8 : Cho tam giác ABC vuông tại A. Điểm D thuộc cạnh BC. Điểm M
chạy trên đoạn AD. Các điểm N, P là hình chiếu vuông góc của M trên AB, AC. Chứng minh rằng : đường thẳng qua N, vuông góc với PD luôn đi qua một điểm cố định.
Lời giải : (hình 8) Gọi K là giao điểm của các đường thẳng qua A, D lần lượt vuông góc với AD, AB. Như vậy, K cố định.
Theo giả thiết, dễ nhận thấy APMN là hình chữ nhật. Ta có : DK vuông góc AN, AN // MP => DK vuông góc MP. Mặt khác, KA vuông góc MA => Đ AKD = Đ AMP (góc có cạnh tương ứng vuông góc) => ΔAKD đồng dạng với ΔPMA (1). APMN là hình chữ nhật, ta chứng minh được ΔPMA đồng dạng ΔANP (2). Từ (1) và (2) => : ΔAKD đồng dạng ΔANP => ΔAKN đồng dạng ΔADP (theo nhận xét ban đầu) => Đ AKN = Đ ADP (3)
Từ (3) và (4) => : ΔAKL đồng dạng ΔQDL => Đ LQD = Đ LAK = 90o => LQ vuông góc DQ hay KN vuông góc DP
Vậy, đường thẳng qua N, vuông góc với PD luôn đi qua điểm K cố định.
Lời bình : Đây là một bài trong đề thi vào khối chuyên toán ĐHSP Hà Nội. Nhận
xét ban đầu giúp học sinh lớp 8 giải được bài toán này, ngắn gọn hơn cách giải bằng kiến thức về đường tròn của lớp 9.
Bài toán 9 : Cho ngũ giác ABCDE có DC = DE, Đ C = Đ E = 90o. Điểm M thuộc đoạn AB sao cho BC/BM = AE/AM. Chứng minh rằng : Đ MCE = Đ ADE ; Đ MEC = Đ BDC.
Lời giải : (hình 9) Qua A, kẻ đường thẳng song song với BC, cắt CM tại N. Theo định lí Ta-lét, ta có AM/AN = BC/BM ; theo giả thiết, BC/BM = AE/AM => AN/AM = AE/AM => MN = AE. => ΔEAN cân tại A (1).
Từ (1) và (2) => : ΔAEN ΔDEC
=> ΔEDA đồng dạng với ΔECN (theo nhận xét trên) => Đ ADE = Đ MCE. Chứng minh tương tự, ta có : Đ ADE = Đ MCE.
Lời bình : Nhận xét ban đầu giúp ta nghĩ tới việc kẻ đường thẳng qua A, song
song với BC, cắt CM tại N.
Qua các bài toán trên, chúng ta đã phần nào thấy được vai trò quan trọng của nhận xét ban đầu. Để kết thúc bài viết, tôi xin giới thiệu thêm một số bài tập vận dụng.
Bài 1 : Cho tam giác ABC vuông tại A. Dựng về phía ngoài tam giác ABC các
tam giác ABE, CAF vuông tại E, F, sao cho EA/EB = FC/FA = 2. Điểm H thuộc BC, HB/HC = 1/4.
Tính HE/HF và Đ EHF.
Bài 2 : Cho tứ giác ABCD và bốn điểm X, Y, Z, T thỏa mãn điều kiện : các tam
giác AXB, CYB, CZD, ATD đồng dạng ; X thuộc nửa mặt phẳng có bờ AB,
không chứa C, D ; Y thuộc nửa mặt phẳng có bờ BC, không chứa D, A ; Z thuộc nửa mặt phẳng có bờ CD, không chứa A, B ; T thuộc nửa mặt phẳng có bờ DA, không chứa B, C. Chứng minh rằng : các điểm X, Y, Z, T hoặc thẳng hàng hoặc là các đỉnh của hình bình hành.
Bài 3 : Cho điểm M nằm bên trong góc xOy. Các điểm A, B theo thứ tự chạy trên các tia Ox, Oy sao cho 2OA = 3OB. Tìm vị trí của A, B sao cho 2MA + 3MB lớn nhất.
Bài 4 : Cho tam giác ABC vuông cân tại B. Điểm M nằm trong tam giác và thỏa
mãn điều kiện : MA/1 = BM/2 = CM/3. Tính góc AMB.
Bài 5 : Cho tam giác ABC, AB > BC. Gọi K, M lần lượt là trung điểm của AB,
AC ; I là giao điểm của các đường phân giác trong. Các đường thẳng KM, CI cắt nhau tại P. Lấy điểm Q sao cho QP vuông góc với KM, QM song song với BI. Chứng minh rằng : QI vuông góc với AC.