Trong mục này, ta trình bày một phương pháp để tìm thời gian nhỏ nhất có thể để đảm bảo sự hội tụ trong thời gian hữu hạn (tức là tất cả các vectơ trạng thái bắt đầu từ một tập bị chặn cho trước hội tụ trong một tập bị chặn đã cho
khác sau thời gian hữu hạn) của hệ dương tuyến tính. Xét hệ dương tuyến tính sau ˙ u(t) =Au(t), t≥t0 ≥0, u(t0) = θ, (2.39) trong đóu(t)∈Rn
0,+ là vectơ trạng thái,A∈Rn×n là một ma trận Metzler. Vectơ θ ∈Rn
0,+ là giá trị ban đầu không âm. Kí hiệu u(t, t0, θ) là nghiệm của hệ (2.39) với giá trị ban đầu θ.
Trong mục này, ta xét bài toán: với hai vectơ không âm đã cho θ ∈Rn0,+ và δ = [δ1· · ·δn]T ∈Rn0,+, tìm một thời gian T ≥0 nhỏ nhất có thể sao cho với mọi giá trị ban đầu 0 θ θ thì nghiệm của hệ (2.39) thỏa mãn u(t, t0, θ) δ với mọi t≥t0+T.
Đầu tiên, ta đưa ra bổ đề về đánh giá thành phần mũ cho hệ tuyến tính dương (2.39).
Bổ đề 2.7 ([14]). Giả sử A là ma trận Hurwitz. Khi đó, tồn tại một số dương α >0 và một hàm giá trị vectơ β(θ) sao cho đánh giá thành phần mũ sau đúng:
u(t, t0, θ)β(θ)e−α(t−t0), ∀t≥t0. (2.40) Chứng minh. Vì A là ma trận Hurwitz nên tồn tại một số dương α >0 sao cho A+αI là ma trận Hurwitz. Hơn nữa, µ(AT +αI) = µ(A+αI). Do đó, ma trận AT +αI cũng là ma trận Hurwitz. Theo (ii) của Bổ đề 1.4, tồn tại một vectơ v >0 sao cho
vT(A+αI)≺0. (2.41)
Xét hàm Lyapunov sau:
V(t) =vTeαtu(t). (2.42)Đạo hàm của V dọc theo nghiệm u(t, t0, θ) được cho như sau Đạo hàm của V dọc theo nghiệm u(t, t0, θ) được cho như sau
˙
V(t) =vT(A+αI)eαtu(t, t0, θ)≤0, ∀t≥t0. (2.43)Suy ra V(t) ≤V(t0) với mọi t ≥ t0. Kết hợp với v 0, u(t, t0, θ) 0, ∀t ≥t0 và Suy ra V(t) ≤V(t0) với mọi t ≥ t0. Kết hợp với v 0, u(t, t0, θ) 0, ∀t ≥t0 và u(t0, t0, θ) =θ θ, ta có, với mỗi i∈ {1,2, . . . , n},
30 ≤vTu(t0, t0, θ)eαt0 ≤vTeαt0θ, ∀t≥t0, (2.44) suy ra ui(t, t0, θ)≤ v Tθ vi e −α(t−t0) , ∀t≥t0. (2.45) Đặt βi(v, θ) = vvTθ i và β(v, θ) = [β1(v, θ), . . . , βn(v, θ)]T. Khi đó, từ (2.45), ta thu được một đánh giá thành phần mũ (2.40). Vậy, Bổ đề 2.7 đã được chứng minh.
Nhận xét 2.2. Cố định α thỏa mãnµ(AT+αI)<0. Kí hiệu Ωlà tập tất cả các vectơ v >0 sao cho bất đẳng thức (2.41) đúng, tức là,
Ω = {v ∈Rn+: (AT +αI)v ≺0}. (2.46) Khi đó, bằng cách lấy giá trị nhỏ nhất của hàm giá trị vectơ β(v, θ) theo v ∈Ω, tức là,
min
v∈Ωβ(v, θ) = [min
v∈Ωβ1(v, θ), . . . ,min
v∈Ωβn(v, θ)]T, (2.47) ta thu được đánh giá thành phần mũ nhỏ nhất với số mũ ổn địnhα cho hệ (2.39) như sau u(t, t0, θ)min v∈Ωβ(v, θ) e−α(t−t0) , ∀t ≥t0. (2.48) Tiếp theo, ta trình bày một phương pháp để tìmminv∈Ωβi(v, θ), i∈ {1,2, . . . , n}. Để đơn giản, ta xem xét trường hợp i= 1.
Kí hiệu
Λ ={−(AT +αI)−1r:r ∈ Rn+}. (2.49) Vì ma trậnAT +αI là Metzler và Hurwitz nên theo phần (ii) của Bổ đề 1.4, ma trận−(AT +αI)−1 là không âm và không suy biến. Do đó, tất cả các vectơ hàng của nó cũng không âm và khác không. Điều này suy ra với mỗi vectơ r ∈ Rn
+,ta có−(AT +αI)−1r∈ Rn ta có−(AT +αI)−1r∈ Rn
Mặt khác, với mỗi v ∈ Ω, ta có (AT +αI)v ≺ 0. Đặt r = −(AT +αI)v. Khi đó, r∈ Rn
+ và v =−(AT +αI)−1r. Suy ra Ω⊆Λ. Do đó, ta có
Ω = Λ, (2.50)
có nghĩa là mỗi vectơ v ∈Ω có dạng sau
v =−(AT +αI)−1r, (2.51)trong đó r ∈ Rn trong đó r ∈ Rn
+. Thay (2.51) vào β1(v, θ) = vvTθ
1 thì β1(v, θ)) được đơn giản hóa thành hàm hữu tỷ với một biến vectơ r và được kí hiệu là Γ1(r) như sau,
β1(v, θ) = a1r1+a2r2+· · ·+anrn
b1r1+b2r2+· · ·+bnrn ,Γ1(r). (2.52) Suy ra, minv∈Ωβ1(v, θ) = minr∈ Rn
+Γ1(r). Do đó, vấn đề tìm minv∈Ωβ1(v, θ) thì tương đương với vấn đề tìm minr∈ Rn
+Γ1(r). Vì Rn+ là một tập mở trong Rn nên giá trị nhỏ nhất của Γ1(r) theo r ∈Rn+ có thể không tồn tại. Do đó, thay vì tìm min thì ta tìm inf của hàm Γ1(r) theo r ∈Rn
+.
Chú ý rằng, theo Bổ đề 1.4, ma trận −(AT +αI)−1 là không âm và không suy biến. Suy ra tất cả các vectơ hàng của ma trận −(AT +αI)−1 là không âm và khác 0. Kí hiệu a= [a1 a2 · · · an]T và b = [b1 b2 · · · bn]T. Sử dụng công thức β1(v, θ) = vvTθ
1 , (2.51) và (2.52), ta có vTθ =θTv =θT[−(AT +αI)−1]r =aTr. Suy ra aT =θT[−(AT +αI)−1]. Vì vectơ θ và ma trận −(AT +αI)−1 là không âm nên vectơ a= (θT[−(AT +αI)−1])T cũng không âm. Tương tự, chúng ta cũng cóv1= eT1v =eT1[−(AT +αI)−1]r =bTr. Suy ra bT =eT1[−(AT +αI)−1], tức là, bT là hàng đầu tiên của ma trận không âm và không suy biến −(AT +αI)−1. Do đó, vectơ b= [b1 b2 · · · bn]T là không âm và khác không. Đặt J ={j ∈ {1,2, . . . , n}|bj >0}. Khi đó, theo Bổ đề 1.6, ta có inf r∈Rn + Γ1(r) = min j∈J aj bj ,γ1. (2.53)
Do đó, đánh giá mũ nhỏ nhất với một số mũ ổn định α của vectơ trạng thái riêng thứ nhất có thể được cho như sau:
u1(t, t0, θ)≤γ1e−α(t−t0)
, ∀t ≥t0, (2.54)
32
Tiếp theo, ta tìm thời gian T nhỏ nhất đảm bảo vectơ trạng thái u(t, t0, θ) hội tụ thành phần trong hình cầu B(0, δ).
Với một số δ1 >0 đã cho, tập t1α= 0 nếu γ1≤δ1, −α1 lnδ1 γ1 nếu γ1> δ1. (2.55) Từ công thức (2.54), ta có u1(t, t0, θ)≤δ1, ∀t≥t0+t1α. (2.56) Chú ý rằng µ(AT +αI) là một hàm tăng đối với biến α. Do đó, ta tìm được
αmax = sup{α∈R+|µ(AT +αI)<0}.
Do đó, bằng cách tăng α dần dần từ 0 đến αmax với một bước nhỏ được chọn, chẳng hạn 0.001, và so sánh thời gian t1α được tính bởi (2.55) thì
T1 = min
α∈(0,αmax]t1α. (2.57) Khi đó, T1 là thời gian nhỏ nhất đảm bảo
u1(t, t0, θ)≤δ1, ∀t≥t0+T1. (2.58) Tương tự, với các sốδi>0, i∈ {2, . . . , n} đã cho, ta cũng tính được các thời gian nhỏ nhất Ti, i ∈ {2, . . . , n} sao cho ui(t, t0, θ)≤δi với mọi t≥t0+Ti. Đặt
T = max{T1, T2, . . . , Tn}. (2.59)Khi đó,T là thời gian nhỏ nhất đảm bảo vectơ trạng thái u(t, t0, θ)hội tụ thành Khi đó,T là thời gian nhỏ nhất đảm bảo vectơ trạng thái u(t, t0, θ)hội tụ thành phần trong hình cầu B(0, δ) sau thời gian hữu hạn T, tức là,
u(t, t0, θ)δ, ∀t≥t0+T. (2.60) Từ các kết quả trên, ta có định lý sau:
Định lý 2.6 ([14]). Giả sử A là một ma trận Metzler và Hurwitz. Hai vectơ đã cho θ ∈ Rn
0,+, δ ∈ Rn
0,+. Khi đó, tất cả các quỹ đạo của hệ (2.39) hội tụ thành phần trong hình cầu B(0, δ) sau thời gian hữu hạn, T, được tính bởi công thức (2.59).