sau đó mở rộng lên cho hệ vi phân dương có nhiễu biến thiên trong tập bị chặn tổng quát.
3.1 Chặn trạng thái cho hệ vi phân dương có nhiễu
bị chặn bởi chuẩn k.k1,1 và k.k∞,1
3.1.1 Điều kiện đủ để tập đạt được của hệ dương bị chặn bởisiêu chóp siêu chóp
Xét hệ dương :
˙
x=Ax(t) +Bωω(t), (3.1)với x(t)∈R¯+n×m, ω(t)∈R¯m với x(t)∈R¯+n×m, ω(t)∈R¯m
+ là vectơ trạng thái và vectơ nhiễu tương ứng.
A ∈ Rn×n và Bω ∈ R¯n+×m là ma trận hằng, Bω khác ma trận không. Với vectơ nhiễu ω rơi vào các trường hợp sau:
Trường hợp 1. ω ∈Ω1,1 ∆ ={ω∈R¯m+ | kωk1,1 ≤1}. (3.2) Trường hợp 2. ω∈Ω∞,1 =∆ {ω∈R¯m+ | kωk∞,1 ≤1}. (3.3)
42
Trong cả hai trường hợp ta sẽ tìm được điều kiện đủ để một siêu chóp chứa tập đạt được của hệ trên và tối ưu để bao tập đạt được nhỏ nhất.
Với vectơ p∈Rn
+, ta có siêu chóp sau:
Cp ={ξ ∈R¯+n |pTξ ≤1}. (3.4) Rõ ràng vectơ trạng thái của hệ (3.1) x(t)∈Cp nếu pTx(t)≤1.
Xét bài toán với nhiễu rơi vào trường hợp 1 ta có điều kiện đủ để tập đạt được của hệ (3.1) bị chặn trong Cp qua định lí sau:
Định lý 3.1 ([4]). Tập đạt được của hệ (3.1) với điều kiện ban đầu bằng không và nhiễu ω ∈Ω1,1 bị chặn bởi đa diện trong (3.4) với vectơ p∈Rn
+ nếu:
ATp0; BωTp1. (3.5)
Chứng minh. Xét hàm Lyapunov V(x(t)) = pTx(t) = pTx(t)với p 0 ta có V(x(0)) = pTx(0) = 0. Lấy vi phân của V(x(t)) dọc theo nghiệm của hệ (3.1) ứng với biến t ta có: d(V x(t))/dt=pT(Ax(t)) +Bωω(t)).
Vì x(t)0, ω(t)0 và ATp0, BωTp1.
Suy ra dV(x(t)/dt1Tω(t). Lấy tích phân hai vế từ 0 đến T ta có: V(x(T))−V(x(0))≤
Z T0 0
1Tω(s)ds≤1, ∀T ≥0.
Vì R∞
0 kω(s)k1ds ≤ 1 nên V(x(T)) ≤ 1 suy ra pTx ≤ 1, ∀T > 0, hay nói cách khác là đa diện Cp chứa tập đạt được của hệ (3.1).
Chú ý 3.1.1. Nếu R0∞kω(s)k1ds ≤ γ với γ > 0 thì tập đạt được của hệ dương (3.1) bị chặn bởi đa diện trong (3.4) nếu tồn tại vectơ p ∈ Rn
+ thỏa ATp 0 và BωTp γ11.
Ta có thể thấy rằng trong Định lí 3.1 thì tính ổn định Lyapunov của hệ (3.1) là điều kiện cần cho tập đạt được bị chặn bởi đa diện, hệ (3.1) không nhất thiết là ổn định tiệm cận. Nếu hệ (3.1) là ổn định tiệm cận thì điều kiện cần để bao tập đạt được có thể được thiết lập bởi định lí sau:
Định lý 3.2 ([4]). Giả sử rằng hệ dương (3.1) là ổn định tiệm cận. Nếu tập đạt được của hệ (3.1) với điều kiện ban đầu bằng không và ω ∈ Ω1,1 là bị chặn bởi đa diện trong (3.4) với p∈Rn
+ thì:
và tồn tại ít nhất một i, i= 1,2, . . . , n sao cho
eTi ATp ≤0.
Chứng minh. Lấy ω(t) có các thành phần là eiδ(t−T) cho vàiT > 0, khi ei ∈Rn i=1,2,..n và δ(t−T) là độ đo Dirac. Rõ ràng eiδ(t−T) ∈Ω1,1 và nghiệm của hệ có thể tính là: x(t) =eAt Z t 0 e−AτBωeiδ(τ −T)dτ =eA(t−τ)Bωei. Vì pT ≤1 nên pTx(T) = pTBωei≤1, i= 1,2, . . . , n nên BωTp1.
Để chứng minh eTi ATp ≤ 0 với ít nhất một i, i = 1,2, . . . , n, lấy tích phân hệ (3.1) từ 0 đến ∞ ta được: x(∞)−x(0) =A Z ∞ 0 x(τ)dτ +Bω Z ∞ 0 ω(τ)dτ.
Vì hệ là ổn định tiệm cận nên ω(τ)∈ Ω1,1 suy ra x(∞) = 0 nên x(0) = 0. Suy ra pTAR∞
0 x(τ)dτ =−pTBωR∞
0 ω(τ)dτ ≤ 0. Vì x(t) không âm nên eTi ATp ≤0 với ít nhất một i, i= 1,2, . . . , n. Định lí được chứng minh.
Như vậy từ định lí trên với hệ ổn định tiệm cận nếu hai bất đẳng thức trong Định lí (3.2) không thỏa mãn ta có thể kết luận rằng tập đạt được của hệ (3.1) với điều kiện ban đầu bằng không vàω ∈Ω1,1 không bị chặn bởi đa diệnCp.
Xét trường hợp 2: ω ∈Ω∞,1 =∆ {ω ∈ R¯m
+ | kωk∞,1 ≤ 1}, trong trường hợp này vectơ nhiễu ω(t) được xét có chuẩn k.k1 không lớn hơn 1. Ta có định lí sau: Định lý 3.3 ([4]). Tập đạt được của hệ dương (3.1) với điều kiện ban đầu bằng không và ω ∈Ω∞,1 bị chặn bởi đa diện 3.4 với p∈Rn+ nếu tồn tại số α >0 thỏa:
ATp+αp0, BωTpα1. (3.6) Chứng minh. Giả sử tồn tại một hàm Lyapunov V(ξ) =pTξ với p 0. Đa diện cho bởi (3.4) chứa tập đạt được của hệ dương (3.1). Nếu d(V(x(t))/dt ≤ 0 cho bất kỳ x(t), ω(t) thỏa hệ (3.1), kω(t)k1≤1 và V(x)≥1. Tương đương:
44
cho bất kỳ x(t), ω(t) thỏa, 1Tω(t) ≤ 1 và pTx(t) ≥ 1. Bất đẳng thức (3.7) thỏa mãn nếu tồn tại α ≥0, β ≥0 sao cho x(t)0, ω(t)0, ta có
pT[Ax(t) +Bωω(t)] +α[pTx(t)−1] +β[1−1Tω(t)]≤0,
tương đương:
(pTA+αpT)x(t) + (pTBω−β1T)ω(t)−α+β≤0,
và tương đương với cho x(t)0 và ω(t)0
pTA+αpT 0, pTBω−β1T 0, β−α≤0. (3.8) Rõ ràng β ≥ α, nếu (3.8) đúng cho (β0, α0) thì (3.8) cũng đúng cho tất cả β ∈[β0, α0]vì pTβω−β1T pTβω−β01T 0. Do đó không mất tính tổng quát ta có thể giả sửα =β suy ra (3.8) có thể viết lại làpTA+αpT 0, pTBω α1T. Chú ý 3.1.2. Dựa vào các định lí trên ta có một điều kiện đủ cho điểmxa ∈Rn
nằm ngoài tập đạt được của hệ (3.1) là: Nếu tồn tại một đa diện chứa tập đạt được của hệ (3.1) nhưng không chứa xa. Ta có thể kiểm tra bất dẳng thức pTxa >1 cùng với (3.5) hoặc (3.6) tùy vào trường hợp 1 hoặc trường hợp 2. 3.1.2 Tối ưu đa diện.
Đa diện Cp = {ξ ∈ Rn+ | pTξ ≤ 1} với p = [p1, p2, . . . , pn]T ∈ Rn
+ được tạo nên bằng cách kết nối các siêu phẳng {ξ ∈Rn+ | pTξ = 1} với n mặt phẳng tọa độ ở góc phần tư thứ nhất (có n+1 đỉnh tương ứng với các độ dài 1/pi, i= 1,2, . . . , n, dọc theo các trục thứ i, i= 1,2, . . . , n). Thể tích của đa diện phụ thuộc vào tích 1/pi, i = 1,2, . . . , n vì thể tích của đa diện n chiều bằng 1/n thể tích của hình hộp n-1 chiều tương ứng. Do đó thể tích của đa diện {x(t) ∈ R+n | pTx(t) ≤
1, x(t) thỏa (3.1), ω ∈ Ω1,1} hoặc {x(t) ∈ Rn+ | pTx(t) ≤ 1, x(t) thỏa (3.1), ω ∈
Ω∞,1} bằng n1 Qn i=1
1
pi. Để tìm được chặn phù hợp chứa tập trạng thái của hệ (3.1) ta sẽ tìm chặn có thể tích nhỏ nhất có thể. Hai phương án để tối ưu thể tích của chặn trạng thái xét trong trường hợp ω ∈Ω1,1 là:
Phương án 1: Tối ưu thể tích đa diện. Bài toán đi tìm p ∈ Rn+ sao cho n1Qn
i=1 1
pi thỏa AT 0 và BTp 1 nhỏ nhất tương đương với bài toán tìm p sao cho −Pn
Phương án 2: Tối ưu theo từng trục của đa diện.
Bằng cách chỉ để một trục biến thiên và cố định các trục còn lại, ứng với mỗi trục biến thiên ta tìm được một đa diện chứa tập trạng thái sau đó giao các đa diện lại. Ta có thể viết bài toán dưới dạng sau: Tối thiểu 1/pi sao cho AT 0và BTp1, với i = 1,2.., n, p = [p1, p2, ..., pn]T. Ứng với mỗi pi ta tìm được đa diện Cpi, cuối cùng tập Tn
i=1Cpi.
Ta có thể áp dụng cả hai phương án cho trường hợp ω ∈Ω∞,1. 3.1.3 Bài toán điều khiển ngược dựa trên trạng thái
Trong mục này ta sẽ đi tìm điều kiện điều khiển các trạng thái phản hồi của hệ kín sao cho các trạng thái phản hồi thỏa mãn tính chất dương và tập đạt được bị chặn trong một đa diện xác định bằng cách áp dụng các định lí trên. Xét hệ
˙
x(t) =Ax(t) +Buu(t) +Bωω(t), (3.9) với vectơ trạng thái x(t) ∈ Rn+, hàm điều khiển u(t) ∈ Rp, nhiễu ω(t) ∈ Rm+, A∈Rn×n là ma trận Metzler, Bu∈Rn×p và Bω ∈Rn+×m là các ma trận hằng số. Lấy K ∈Rp×n, giả sử rằng u(t) = Kx(t) hệ (3.9) trở thành.
˙
x(t) = (A+BuK)x(t) +Bωω(t). (3.10) Áp dụng các phân tích từ mục 3.1.1, mệnh đề dưới đây cho ta điều kiện của K để một đa diện Cp cho trước có thể chứa tất cả trạng thái của hệ (3.10) với nhiễu có chuẩn bị chặn.
Mệnh đề 3.1 ([4]). Cho một đa diện xác định Cp, nếu tồn tại vectơ p ∈ Rn+, một số α >0 và một ma trận K ∈Rp×n thỏa A+BuK là Metzler. Nếu ω∈Ω1,1 và pT(A+BuK)0, BωTp1, (3.11) hoặc ω ∈Ω∞,1 và pT(A+BuK) +αpT 0, BωTpα1, (3.12)
46 thì Cp chứa tập đạt được của hệ (3.9).
Vì đa diện Cp là xác định do đó vectơ p cũng là xác định, hệ (3.11) và (3.12) là tuyến tính với biến K và α cho nên giá trị thích hợp của K và α sẽ dễ dàng tìm được bằng lập trình. Mặt khác nếu tồn tại K thỏa Mệnh đề 3.1 sao cho trạng thái của hệ khép kín được bao lại trong đa diện đã biết Cp ={ξ∈Rn+ |pTξ≤1, p∈Rn+}. Ta có thể điều chỉnh K để tối ưu đa diện đã cho bằng cách giải bài toán: Cho pn = [p1, p2, ..., pn]T, tối thiểu γ =∆ −Pn
i=1log(pi), sao cho (A+BuK)Tp0, BuTp1. Kí hiệu γ∗ là giá trị nhỏ nhất của γ, tương ứng với γ∗ ta có p∗ và đa diện Cp∗ có thể tích không lớn hơnCp. Lặp lại quá trình tối ưu tham số γ đến khi tìm được γ∗ thích hợp.
Ví dụ 3.1. Xét hệ x˙(t) =Ax(t) +Buu(t) +Bωω(t) với A= −2 1.3 1 0.5 −3 0.7 2 1.5 −2 , Bu= 1 0 0 1 1 0.5 , Bω = 0.1 0.2 0.8 .
Với đa diện xác định Cp với p = [1.5 1,5 0,9]T, ω(t) = 10e−10t (ω ∈Ω1,1) nằm ngoài đa diện. Từ Mệnh đề 3.1 ta tìm được K =
−0.64 −0.5 −0.1 −0.0013 −0.78 −0.51 để ma trận của hệ kín A+BuK = −2,64 0.8 0,9 0.4987 −3,78 0.19 1,3594 0.61 −2,355
là Metzler. Khi đó trạng thái của hệ bị chặn trong Cp.
3.2 Chặn trạng thái cho hệ vi phân dương có nhiễu