Trong [13] đã giới thiệu giải pháp điểm biên để giải các ràng buộc, với cách tiếp cận này thì mỗi một ràng buộc là một phương trình hay bất phương trình
của các biến tham gia: trong đó hàm
tổng quát cho phương trình và bất phương trình được rút ra từ các ràng buộc và việc tìm kiếm điểm biên chuyển thành bài toán tìm nghiệm, tìm các điểm thỏa mãn các điều kiện sau:
i.Các điểm từ điểm cực tiểu đến điểm cực đại của mỗi biến trong các ràng buộc mà thỏa ràng buộc đó và được gọi là điểm thỏa mãn: Cho p là một điểm thỏa mãn trong miền xác định, thì p là nghiệm của
là hàm tổng quát.
ii. Các điểm được gọi các điểm giao nhau của hai ràng buộc: Gọi p là điểm giao nhau của các ràng buộc sau:
Thì , p là nghiệm của
iii. Các điểm cực đại và cực tiểu mà mỗi một ràng buộc đạt được gọi là điểm cực trị của ràng buộc: Gọi p là điểm cực trị của ràng buộc thì p là nghiệm của
Định nghĩa điểm biên: Cho tập miền giá trị của biến , giả sử rằng tồn tại các khoảng and để mà là nghiệm liên tục và được bao phủ
bởi . Bất kỳ điểm nằm trong , thì sẽ nằm trong khoảng
. Nếu các điều kiện sau đúng thì được gọi là biên (Landmark) và được gọi là điểm biên (Landmark Points):
26
(2) thì .
Thuật toán được phát biểu trong Hình 2.4 và được gọi với tên Propagation - LAI.
PropagationLAI(D, Z, C, )
1. Input: continuous constraint system (D,Z,C)
2. Output: new domain D’ and finite set of landmark points SL
3. 4. if 0 then 5. 6. else 7. 8. endif
9. for each constraint do
10. for each do
11. while
do
12.
13. endwhile
14. if ( satisfy with )&&( ) then
15.
16. Lower( )=max(Lower( ), -min ) 17. Upper( )=min(Upper( ),xi j, -max ) 18. endif
19. endfor
20. endfor
21. return , SL
22. End
Hình 2.4: Thuật toán tìm nghiệm cục bộ cho tập ràng buộc