Trong ti¸t n y, chóng tæi tr¼nh b y mët sè kh¡i ni»m v k¸t qu£ v· t½nh catenary cõa v nh theo [14].
ành ngh¾a 1.9.1. Choq ⊂p l c¡c i¶an nguy¶n tè cõa R. Mët d¢y c¡c i¶an nguy¶n tè q = p0 ⊂ p1 ⊂ . . . ⊂ pn = p sao cho pi 6= pi+1, vîi måi i = 0, . . . , n−1 ÷ñc gåi l mët d¢y c¡c i¶an nguy¶n tè b¢o háa giúa q
v p n¸u vîi måi 0 6 i 6 n−1 khæng tçn t¤i i¶an nguy¶n tè P n o thäa m¢n pi ⊂ P ⊂ pi+1 v pi 6= P 6= pi+1. Khi â n ÷ñc gåi l ë d i cõa d¢y i¶an nguy¶n tè b¢o háa tr¶n.
ành ngh¾a 1.9.2. V nh R ÷ñc gåi l v nh catenary n¸u vîi måi c°p i¶an nguy¶n tè q ⊂ p cõa R luæn tçn t¤i mët d¢y i¶an nguy¶n tè b¢o háa giúa q v p, v måi d¢y nguy¶n tè b¢o háa giúa q v p ·u câ còng ë d i.
Lîp v nh catenary ¦u ti¶n ÷ñc ch¿ ra bði W. Krull n«m 1937. Æng chùng minh r¬ng n¸u K l mët tr÷íng th¼ måi K-¤i sè húu h¤n sinh ·u l v nh catenary. N«m 1946, I. Cohen [3] ¢ chùng minh r¬ng måi v nh àa ph÷ìng ¦y õ l catenary. Sau â, M. Nagata [17] ¢ chùng tä r¬ng måi mi·n nguy¶n, àa ph÷ìng tüa khæng trën l¨n l catenary. N¸u R l v nh catenary th¼Rp l catenary vîi måi p ∈ SpecR. Hìn núa, v nh th÷ìng cõa v nh catenary l catenary. V¼ th¸ h¦u h¸t c¡c v nh ÷ñc bi¸t ¸n trong
H¼nh håc ¤i sè ·u l catenary.
M»nh · 1.9.3. (Xem [18]) Cho R l v nh giao ho¡n Noether àa ph÷ìng. Khi â c¡c i·u ki»n sau t÷ìng ÷ìng:
(i) R l catenary.
(ii) dimR/q = dimR/p +htp/q vîi måi q ⊆p;p,q ∈ SpecR.
Nhc l¤i r¬ng, v nh R ÷ñc gåi l ¯ng chi·u n¸u dimR/p = dimR vîi måi i¶an nguy¶n tè tèi thiºu p cõa R. Vîi måi i¶an nguy¶n tè p cõa R ta luæn câ b§t ¯ng thùc
htp+ dimR/p 6 dimR.
N«m 1971, R. J. Ratliff ¢ mð rëng k¸t qu£ tr¶n cho c¡c v nh àa ph÷ìng. M»nh · 1.9.4. (Xem [18]) Gi£ sû R l v nh àa ph÷ìng Noether ¯ng chi·u. Khi â R l catenary n¸u v ch¿ n¸u vîi måi i¶an nguy¶n tè p cõa R ta câ
htp+ dimR/p = dimR.
ành ngh¾a 1.9.5. (Xem [17]) V nhR ÷ñc gåi l tüa khæng trën l¨n n¸u v nh ¦y õm-adicRbcõaRl ¯ng chi·u, tùc l dimR/b bp = dimRbvîi måi
bp ∈ minAss(Rb). V nh R ÷ñc gåi l khæng trën l¨n n¸udimR/b bp = dimRb
vîi måi bp ∈ AssRb.