T½nh catenary cõa gi¡ khæng trën l¨n

2 MÆUN ÈI ÇNG IU ÀA PH×ÌNG CP CAO

2.3 T½nh catenary cõa gi¡ khæng trën l¨n

Nhc l¤i r¬ng v nh R l catenary n¸u vîi méi c°p i¶an nguy¶n tè p,q

cõaRsao cho p ⊂ q,måi d¢y b¢o háa c¡c i¶an nguy¶n tè bt ¦u tøp k¸t thóc t¤iq ·u câ còng ë d i (húu h¤n). Chó þ r¬ng v nh R l ¯ng chi·u, ngh¾a l dimR/q = dimR vîi måi i¶an nguy¶n tè tèi thiºu q ∈ AssR th¼ R l catenary n¸u v ch¿ n¸u dimR/p+htp = dimR vîi måi i¶an nguy¶n tè cõa R.

Ta nâi r¬ng SuppM l catenary n¸u vîi méi c°p i¶an nguy¶n tè p,

q ∈ SuppM vîi p ⊂ q, måi d¢y b¢o háa c¡c i¶an nguy¶n tè xu§t ph¡t tø

p v k¸t thóc t¤i q câ chung ë d i.

Tø ành ngh¾a v· t½nh catenary cõa SuppM ta th§y r¬ng SuppM l catenary khi v ch¿ khi v nh R/AnnM l catenary. Do â SuppM l catenary v dimR/p = d vîi måi i¶an nguy¶n tèp ∈ AssM khi v ch¿ khi dimR/p+dimMp = d vîi måi p ∈ SuppM. °c bi»t, v¼ dimR/p = d vîi måip ∈ AssM/UM(0)n¶n gi¡ khæng trën l¨n UsuppM = SuppM/UM(0)

l catenary n¸u v ch¿ n¸u dimR/p +dimMp = d vîi måi p ∈ UsuppM. ành lþ sau ¥y l k¸t qu£ ch½nh cõa ti¸t n y, nâ ch¿ ra r¬ng t½nh ch§t (*) cho Hmd(M) th¼ t÷ìng ÷ìng vîi t½nh catenary cõa UsuppM. Tr÷îc khi chùng minh ành lþ n y ta c¦n chùng minh nhúng bê · sau.

Bê · sau nâi r¬ng n¸uRl v nh àa ph÷ìng ¦y õ v M l khæng trën l¨n th¼ vîi méi ph¦n h» tham sè(x1, ..., xr)cõaM,mæunM/(x1, ..., xr)M l ¯ng chi·u.

Bê · 2.3.1. Gi£ thi¸t r¬ng R l v nh àa ph÷ìng ¦y õ theo tæpæ

m-adic v M l mët R-mæun húu h¤n sinh sao cho dimR/p = d vîi måi p ∈ AssM. Khi â vîi méi ph¦n h» tham sè (x1, ...,xr) cõa M v méi i¶an nguy¶n tè tèi thiºu p cõa M/(x1, ...,xr)M, ta câ dimR/p = d−r. Chùng minh. Cho (x1, ...,xr) l mët ph¦n h» tham sè cõa M v p l mët i¶an nguy¶n tè li¶n k¸t tèi thiºu cõa M/(x1, ..., xr)M.

Tr÷íng hñp r = d l t¦m th÷íng. Gi£ sû r < d. V¼ (x1, ...,xr) l mët ph¦n h» tham sè cõa M n¶n ta câ

dim(R/AnnM + (x1, ...,xr)R) = dim(M/(x1, ...,xr)M) = d−r. Hìn núa, v¼ p l i¶an nguy¶n tè tèi thiºu cõa AnnM + (x1, ...,xr)R n¶n theo ([15], ành lþ 18) ta câ dimR/p ≤ d−r. Khi â tçn t¤i i¶an nguy¶n tè tèi thiºu q cõa AnnM sao cho q ⊆ p. V¼ q ∈ AssRM n¶n theo gi£ thi¸t ta câ dimR/q = d.

Hìn núa, p l i¶an nguy¶n tè tèi tiºu cõa q + (x1, ...,xr)R. Do â ht(p/q) khæng v÷ñt qu¡ r.

V¼ R/q l catenary chi·u l d n¶n ta câ

ht(p/q) +dimR/p = d. Suy ra

Do ht(p/q) ≤r n¶n

dimR/p = d−ht(p/q) ≥ d−r. M°t kh¡c dimR/p ≤ d−r cho n¶n dimR/p = d−r.

Bê · 2.3.2. Cho p ∈ V(AnnHmd(M)) sao cho dimMp + dimR/p = d. Khi â Ann(0 :Hd

m(M) p) =p.

Chùng minh. L§y p ⊇ AnnHmd(M) l mët i¶an nguy¶n tè cõa R sao cho dimMp +dimR/p = d. °t dimR/p = d−r.

Theo gi£ thi¸t ta suy ra dimMp = r. V¼ th¸ tçn t¤i mët i¶an nguy¶n tè cõa q ∈ AssM sao cho q ⊆ p v ht(p/q) = r. V¼

dimR/q ≥ dimR/p +ht(p/q) = d, n¶n ta suy ra dimR/q = d. Chó þ r¬ng

dimR/b pRb = dimR/p = d−r.

V¼ th¸ tçn t¤i mët i¶an nguy¶n tèpb∈ AssRbR/b pRbsao cho dimR/b bp = d−r. V¼ bp ∈ AssRbR/b pRb n¶n ta câ bp∩R ∈ AssR/p, tùc l bp∩R = p.

Chó þ r¬ng ¡nh x¤ tü nhi¶n R → Rb l çng c§u ho n to n ph¯ng, do â çng c§u n y thäa m¢n ành lþ Going down (Xem [15], ành lþ 4), n¶n tçn t¤i mët i¶an nguy¶n tè bq ∈ SpecRb sao cho bq∩R = q,bq ⊆ bp v

ht(bp/bq) ≥ r. V¼ d = dimR/q = dimR/b qRb ≥ dimR/b bq = dimR/b bp+ht(bp/bq) ≥ d−r +r = d.

Suy ra dimR/b bq = d. Hìn núa, v¼ çng c§u c£m sinh Rq → Rb

bq l ho n to n ph¯ng v Mq 6= 0 n¶n ta câ Mq ⊗Rq Rb b q ∼= Mc b q 6= 0.

Do â bq ∈ SuppRbM .c V¼ dimR/b qb = d v bp ⊇ bq n¶n ta câ bp ⊇

AnnRbHmd(M). Do â tø t½nh ch§t èi ng¨u Matlis ta suy ra AnnRb(0 :Hd m(M) bp) =bp. Cuèi còng ta câ p ⊆ Ann(0 :Hd m(M) p) ⊆ AnnRb(0 :Hd m(M) bp)∩R =bp∩R = p. Do â Ann(0 :Hd m(M) p) =p. ành lþ 2.3.3. C¡c m»nh · sau l t÷ìng ÷ìng: (i) UsuppM l catenary.

(ii) Hmd(M) thäa m¢n t½nh ch§t (*).

Chùng minh. (i)=⇒ (ii).Chop ∈ V(AnnHmd(M)).V¼ UsuppM l catenary n¶n dimR/p +dimMp = d. Do â theo Bê · 2.3.2 ta câ:

Ann(0 :Hd

m(M) p) =p. Vªy Hmd(M) thäa m¢n t½nh ch§t (*).

(ii) =⇒ (i). Cho p ∈ UsuppM. Ta c¦n chùng minh r¬ng dimR/p +

dimMp = d. N¸u p = m th¼ rã r ng

dimR/m+dimMm = 0 +dimM = d.

Gi£ sû p 6= m. °t dimR/p = d−r. Ta c¦n chùng minh dimMp = r. V¼ p ⊇ AnnM/UM(0) n¶n ta câ

dim M/UM(0)/p(M/UM(0))= dimR/p = d−r.

V¼ th¸ tçn t¤i mët ph¦n h» tham sè cüc ¤i (x1, ...,xr) cõa M/UM(0)

trong p. V¼ p ∈ UsuppM n¶n theo ành l½ 2.2.5 tçn t¤i i¶an nguy¶n tè

bp ∈ UsuppRbMc sao chobp∩R = p. °t

M1 = M /c UMc(0).

V¼ (x1, ...,xr) l mët ph¦n h» tham sè cõa M/UM(0) n¶n nâ công l mët ph¦n tham sè cõa mæun ¦y õ m-adic M/\UM(0) cõa M/UM(0). V¼ Mc1

l mæun th÷ìng cõa mæun M/\UM(0) v dimMc1 = dimM/\UM(0) n¶n

(x1, ...,xr) l mët ph¦n h» tham sè cõa Mc1. Chó þ r¬ng:

bp ∈ SuppRbMc1/(x1, ...,xr−1)Mc1

n¶n bp ⊇bp1 vîi i¶an nguy¶n tè tèi tiºu pb1 ∈ SuppRbMc1/(x1, ...,xr−1)Mc1. V¼ xr l mët ph¦n tû tham sè cõaMc1/(x1, ...,xr−1)Mc1 n¶n theo Bê · 2.3.1 ta suy ra xr ∈/ pb1. °t p1 = pb1 ∩ R. Khi â xr ∈/ p1. V¼ xr ∈ p n¶n ta câ

p ⊃ p1 v p 6= p1. Lªp luªn t÷ìng tü nh÷ tr¶n, tçn t¤i i¶an nguy¶n tè tèi tiºu

sao chobp1 ⊇bp2. °tp2 = bp2∩R.b Khi âp1 ⊃ p2 v p1 6= p2 v¼ xr−1 ∈ p1\p2. Ti¸p töc qu¡ tr¼nh tr¶n, sau r b÷îc ta nhªn ÷ñc mët d¢y c¡c i¶an nguy¶n tè chùa AnnM

p ⊃ p1 ⊃p2 ⊃ ...⊃ pr

sao cho pi 6= pi+1 vîi måi i = 1,2, ..., r−1. Do â dimMp = r.

Khi â dimR/p+ dimMp = d−r +r = d vîi måi p ∈ UsuppM. Vªy UsuppM l catenary.

H» qu£ sau ¥y, ÷ñc suy ra tø ành lþ 2.3.3, cho mët °c tr÷ng v· t½nh catenary cõa c¡c mi·n nguy¶n Noether qua t½nh ch§t (*).

H» qu£ 2.3.4. Gi£ sû (R,m) l mët mi·n nguy¶n àa ph÷ìng Noether chi·u d. Khi â R l catenary n¸u v ch¿ n¸u Hmd(R) thäa m¢n t½nh ch§t (*).

ành lþ 2.3.5. C¡c m»nh · sau l t÷ìng ÷ìng (i) Ann(0 :Hd

m(M) p) =p vîi måi p ∈ V(AnnHmd(M)). (ii) Usupp M l catenary.

(iii) UsuppM = {bp∩R :bp ∈ UsuppRbMc}.

(iv) Vîi méi d¢y x1, ...,xd c¡c ph¦n tû trong m, x = (x1, ...,xd) l mët h» tham sè cõa Hmd(M) n¸u v ch¿ n¸u nâ l mët h» tham sè cõa M/UM(0). Chùng minh. Tø ành lþ 2.2.5 ta suy ra (i) ⇔ (iii) ⇔ (iv). Hìn núa tø ành lþ 2.3.3 ta ÷ñc (i) ⇔(ii).

Vªy ta ÷ñc i·u c¦n chùng minh.

Cho 0 = M0 ⊂ M1 ⊂ ... ⊂ Mt = M l mët låc c¡c mæun con cõa M, trong â Mi−1 l mæun con lîn nh§t cõa Mi vîi dimMi−1 < dimMi vîi

måi i = 1, ...,t. Låc n y luæn luæn tçn t¤i v duy nh§t. Ta gåi låc n y l låc chi·u cõa M (Xem [6]).

Cho dimMi = di vîi i = 1, ...,t. Khi â d¹ d ng ta câ thº kiºm tra r¬ng SuppM = [

i=1,...,t

SuppMi/Mi−1.

Vîi méi i= 1, ...,t ta k½ hi»u dimR/p = di vîi måi p ∈ AssMi/Mi−1. H» qu£ 2.3.6. SuppM l catenary n¸u v ch¿ n¸u Hdi

m(Mi/Mi−1) thäa m¢n t½nh ch§t (*) vîi måi i= 1, ...,t.

B¥y gií ta nghi¶n cùu mët v i mi·n nguy¶n Noether àa ph÷ìng khæng catenary. Chó þ r¬ng b§t k¼ mi·n nguy¶n chi·u 2 ·u l catenary, nh÷ng v¨n tçn t¤i mi·n nguy¶n Noether àa ph÷ìng khæng catenary chi·u d vîi d≥ 3 (Xem [1, (8)]).

M»nh · 2.3.7. Cho R l mët mi·n nguy¶n Noether àa ph÷ìng chi·u 3 khæng catenary. °t

U = {p ∈ SpecR :dimR/p +htp = 2};

V = {p ∈ SpecR :dimR/p +htp = 3}. Khi â c¡c m»nh · sau l óng:

(i) UsuppR = SpecR = U∪V v U,V 6= ∅. (ii) Ann(0 :H3

m(R) p) = p vîi måi p ∈ V. Nh÷ng Ann(0 :H3

m(R) p) 6= p vîi måi p ∈ U.

(iii) N¸u p ∈ V th¼ tçn t¤i bp ∈ SuppR/b URb(0) sao cho bp∩R = p. Nh÷ng n¸u p ∈ U th¼ khæng tçn t¤i bp ∈ SuppR/b URb(0) sao cho bp ∩R = p.

(iv) N-dimH2

m(R) = 2 v dimR/AnnH2

Chùng minh. (i) V¼ R khæng catenary n¶n U 6= ∅. Do dimR = 3 n¶n V 6= ∅. Rã r ng SpecR = U∪ V.

(ii) Theo ành lþ 2.3.3, ta câ Ann(0 :H2

m(M) p) = p, vîi måi p ∈ U v Ann(0 :H3

m(M) p) =p vîi måi p ∈ V. (iii) Suy ra tø (ii) v ành lþ 2.2.5.

(iv) L§y p ∈ U. Khi â dimR/p = 1. Do çng c§u ph¯ng R →Rb l ho n to n ph¯ng n¶n tçn t¤i bp ∈ SpecRb sao cho bp∩ R = p. V¼ p 6= m n¶n

p 6= mR.b Suy ra

0 < dim(R/b bp) ≤ dimR/p = 1.

Do â dim(R/b bp) = 1. M°t kh¡c theo (iii) ta câ bp ∈/ Supp(R/b URb(0)). Tø â suy ra bp + AnnRbH3

m(R).

Hìn núa, v¼ çng c§u tü nhi¶n R → Rb l ph¯ng n¶n thäa m¢n ành lþ Going down, do â htbp ≥ htp = 1. V¼ th¸ tçn t¤i bq ∈ AssRb sao cho bq ⊂ bp v bq 6= bp. Do â dimR/b bq ≥ 2. V¼ bp + AnnRbH3

m(R) n¶n dimR/b bq = 2.Khi â, theo ([2], H» qu£ 11.3.3) ta ÷ñcbq ∈ AttRbH2

m(R) v do â bq ⊇ AnnRbH2 m(R). Tø â suy ra N-dimH2 m(R) =dimR/b AnnRbH2 m(R) ≥ 2.

Chó þ r¬ng bði ([5], ành lþ 2.3.1) ta câ N-dimH2

m(R) ≤ 2.. V¼ th¸ N-dimH2 m(R) = 2. M°t kh¡c v¼ bq ∈ AttRbH2 m(R)∩AssRb, n¶n ta câ bq∩R ∈ AttH2 m(R)∩AssR.

Do R l mët mi·n nguy¶n n¶n bq∩ R = 0. V¼ th¸ 0 = AnnH2 m(R). Vªy dimR/AnnH2

KT LUN

Trong luªn v«n n y, chóng tæi ¢ tr¼nh b y v chùng minh chi ti¸t mët sè k¸t qu£ trong [7].

Ch÷ìng 1, chóng tæi tr¼nh b y c¡c ki¸n thùc cì b£n v·: ¦y õ; àa ph÷ìng hâa; sü ph¥n t½ch nguy¶n sì; chi·u Krull; mæun Artin; biºu di¹n thù c§p; chi·u Noether; mæun èi çng i·u àa ph÷ìng; t½nh catenary cõa v nh v çng c§u ph¯ng.

Ch÷ìng 2, chóng tæi tr¼nh b y mët sè v§n · v· mæun èi çng i·u àa ph÷ìng c§p cao nh§t theo [7], cö thº l : t½nh ch§t: Ann(0 :A p) = p vîi måi

p ∈ V(AnnR(A)); t½nh ch§t (*) èi vîi mæun èi çng i·u àa ph÷ìng c§p cao nh§t v t½nh catenary cõa gi¡ khæng trën l¨n.

DANH MÖC TI LIU THAM KHO

[1] Brodmann, M., A particular class of regular domains, J. Algebra, 54, (1978), 366-373.

[2] Brodmann, M. and Sharp, R. Y., Local Cohomology : An Algebraic Introduction with Geometric Applications, Cambridge University Press, Cambridge, 1998.

[3] Cohen, L. S., On the structure and ideal theory of complete local rings, Trans. Amer. Math. Soc. 59 (1946), pp. 54-106.

[4] Cuong, N. T. and Nhan, L. T., Dimension, multiplicity and Hilbert function of Artinian modules, East-West J. Math., 1 (2), (1999) pp. 179-196.

[5] Cuong, N. T. and Nhan, L. T., On Noetherian dimension of Artinian modules, Vietnam J. Math. 30 (2002), pp. 121-130.

[6] Cuong, N. T. and Nhan, L. T., On pseudo Cohen-Macaulay and pseudo generaliized Cohen-Macaulay modules, J. Algebra 267 (1) (2003), pp. 156-177.

[7] Cuong, N. T. and Dung, N. T. and Nhan, L. T., Top local cohomology and the catenaricity of the unmixed support of a finitely generated module, Comm. Algebra, 35 (2007), pp. 1691-1701.

[8] Ferrand, D. and Raynaud, M.,Fibres formelles d'un anneau local Noetherian, Ann. Sci.E'cole Norm. Sup. 3 (4) (1970), pp. 295-311. [9] Kirby, D., Artinian modules and Hilbert polynomials, Quart. 5. Math.

Oxford (2) 24 (1975), pp. 47-57.

[10] Kirby, D., Coprimary decomposition of Artinian modules, J. London Math. Soc. 6 (2) (1973), pp. 571-576.

[11] Kirby, D., Dimension and length for Artinian modules, Quart. J. Math. Oxford (Ser.2) 41 (1990), pp. 419-429.

[12] Macdonald, I. G., Secondary representation of modules over a commutative ring, Symposia Mathematica 11 (1973), pp. 23-43.

[13] Matlis, E., The Kozul complex and duality, Comm. Algebra 2 (1) (1960), pp. 87-149.

[14] Matsumura, H., Commutative ring theory, Cambridge University Press, Cambridge, (1986).

[15] Matsumura, H., Commutative Algebra , Benjamin, W. A., New York, (1970).

[16] Matlis, E., Injective modules over Noetherian rings, Pacific J. Math. (1968), pp. 511-528.

[17] Nagata, M., On the chain problem of prime ideal, Nagaya Math. J. 80 (1980), pp. 107-116.

[18] Ratliff, L, J., Characterizations of catenary rings, Amer. J. Math., 93 (1971), pp. 1070-1108.

[19] Roberts, R. N., Krull dimension for Artinian modules over quasi-local commutative rings, Quart. J. Math. Oxford (Ser.2) 26 (1975), pp. 269- 273.

[20] Sharp, R. Y., A method for the study of Artinian modules, with an application to asymptotic behavior, in: Commutative Algebra, Math. Sci. Res. Inst. Publ., No. 15, Springer-Verlag, New York, 1989, pp. 443-465.

[21] Tang, Z. M. and Zakeri, H.,Co-Cohen-Macaulay modules and modules of generalized frac-tions, Comm. Algebra 22 (6) (1994), pp. 2173-2204.

T½nh catenary cõa v nh