T½nh ch§t (*) èi vîi mæun èi çng i·u àa ph÷ìng c§p

Một phần của tài liệu (LUẬN văn THẠC sĩ) môđun đối đồng điều địa phương cấp cao nhất và tính catenary của giá không trộn lẫn của môđun hữu hạn sinh (Trang 34 - 40)

2 MÆUN ÈI ÇNG I—U ÀA PH×ÌNG C‡P CAO

2.2 T½nh ch§t (*) èi vîi mæun èi çng i·u àa ph÷ìng c§p

i·u àa ph÷ìng c§p cao nh§t

Tø ti¸t n y trð v· sau, ta luæn gi£ sû M l  R-mæun húu h¤n sinh vîi dimM = d. Trong ti¸t n y, chóng tæi s³ i nghi¶n cùu t½nh ch§t (*) cho mæun èi çng i·u àa ph÷ìng c§p cao nh§t Hmd(M).

¦u ti¶n, chóng tæi s³ tr¼nh b y mët t½nh ch§t °c tr÷ng cõa Hmd(M)

(Xem [5], H» qu£ 3.6). Bê · 2.2.1. N-dimHd

Chùng minh. V¼ M l  R-mæun húu h¤n sinh n¶n tçn t¤i mët sè nguy¶n n v  mët d¢y khîp ng­n c¡c R-mæun húu h¤n sinh:

0→ K →Rn → M → 0.

Khi â ta ÷ñc d¢y khîp Hmd(Rn) →Hmd(M) →0.Hìn núa v¼ dimR = d n¶n ta câ Hmd(R) l  mët R-mæun Artin v 

AttRb Hmd(R) = {p ∈ SpecR,b dimR/b p = d,dimR/b (mRb+p) = 0}. Do â Hmd(M) l  mët R-mæun Artin v 

AttRb Hmd(M) ⊆ {p ∈ SpecR,b dimR/b p = d,dimR/b (mRb+p) = 0}. M°t kh¡c v¼ Hmd(M) 6= 0 n¶n AttRb Hmd(M)6= ∅. Do â ta ÷ñc

N-dimR Hmd(M)= N-dimRb Hmd(M) = dimRb Hmd(M) = d. L¤i câ dimR/AnnHmd(M) =d. N¶n tø â suy ra

N-dimHmd(M) =dimR/AnnHmd(M) =d.

K½ hi»u UM(0) l  mæun con lîn nh§t cõaM câ chi·u nhä hìnd. Chó þ r¬ng n¸u 0 = \

p∈AssM

N(p) l  mët ph¥n t½ch nguy¶n sì thu gån cõa mæun con 0 cõa M. Khi â theo [6], ta câ

UM(0) = \

dimR/p=d

N(p). Do â ta câ

V¼ vªy

SuppM/UM(0) = [

p∈AssM,dimR/p=d

V(p).

ành ngh¾a 2.2.2. SuppM/UM(0) ÷ñc gåi l  gi¡ khæng trën l¨n cõa mæun M v  ÷ñc k½ hi»u bði UsuppM.

K¸t qu£ ¦u ti¶n v· gi¡ khæng trën l¨n l  Bê · sau.

Bê · 2.2.3. Cho p ∈ SuppM. Khi â p ∈ UsuppM n¸u v  ch¿ n¸u

p ⊇ AnnHmd(M). °c bi»t UsuppM = V(AnnHmd(M)). Chùng minh. Tø M»nh · 1.8.3, ta câ

AttHmd(M) = {q ∈ AssM : dimR/q = d}.

Hìn núa, theo M»nh · 1.6.3 (ii) tªp c¡c i¶an nguy¶n tè tèi tiºu chùa AnnHmd(M) ch½nh l  tªp c¡c ph¦n tû tèi tiºu cõa AttHmd(M). Do â

V(AnnHmd(M)) = [

p∈AssM,dimR/p=d

V(p) = UsuppM.

Chóng ta câ nhúng mèi li¶n h» giúa c¡c i¶an nguy¶n tè li¶n k¸t v  c¡c i¶an nguy¶n tè li¶n k¸t cõa ¦y õ m-adic Mc, giúa tªp gi¡ cõa M v  gi¡ cõa M .c Ch¯ng h¤n:

AssM = {bp∩R : bp ∈ AssRbMc}. SuppM = {bp∩R : bp ∈ SuppRbMc}. Hìn núa

V¼ vªy, mët c¥u häi tü nhi¶n v· mèi li¶n h» giúa UsuppM v  UsuppRbMc ¢ ÷ñc °t ra. Tr÷îc h¸t, chóng ta câ Bê · sau.

Bê · 2.2.4. UsuppM ⊇ {bp∩R : pb∈ UsuppRbMc}.

Chùng minh. Cho bp ∈ UsuppM .c Khi â bp ⊇ bq vîi mët bq ∈ AssRbMc n o â thäa m¢n i·u ki»n dimR/b bq = d. V¼ AssRM = {bp ∩ R : bp ∈ AssMc}

n¶n suy ra bq∩ R ∈ AssM v  dimR/bq∩R = d.

V¼ bp ∩ R ⊇ bq ∩ R n¶n tø ành ngh¾a cõa gi¡ khæng trën l¨n ta suy ra

bp∩R ∈ UsuppM. Vªy

UsuppM ⊇ {bp∩R : pb∈ UsuppRbMc}.

Têng qu¡t, hai tªp UsuppM v  tªp {bp ∩ R : bp ∈ UsuppRbMc} l  kh¡c nhau nh÷ng ành lþ sau s³ chùng minh r¬ng hai tªp hñp â l  gièng nhau n¸u v  ch¿ n¸u Hmd(M) thäa m¢n t½nh ch§t (*). Hìn núa chóng ta câ mët °c tr÷ng t½nh ch§t (*) thæng qua h» tham sè cõa Hmd(M).

ành lþ 2.2.5. C¡c m»nh · sau l  t÷ìng ÷ìng: (i) Hmd(M) thäa m¢n t½nh ch§t (*).

(ii) UsuppM = {bp∩R :bp ∈ UsuppRbMc}.

(iii) Vîi méi d¢y x = (x1, ...,xd) c¡c ph¦n tû trong m, x = (x1, ...,xd)

l  mët h» tham sè cõa Hd

m(M) n¸u v  ch¿ n¸u nâ l  mët h» tham sè cõa M/UM(0).

Chùng minh. (i)⇔ (ii). Tø Bê · 2.2.3 ta ÷ñc V(AnnHmd(M)) = UsuppM v  V(AnnRbHmd(M)) = UsuppRbM .c Do â, i·u ki»n (ii) t÷ìng ÷ìng vîi

i·u ki»n

V(AnnHmd(M)) = {bp∩R : bp ∈ V(AnnRbHmd(M))}. Theo M»nh · 2.1.2 ta ÷ñc i·u c¦n chùng minh.

(i) =⇒ (iii). Gi£ sû x = (x1, ...,xd) l  mët h» tham sè cõa Hmd(M) v  I l  i¶an sinh bði x1, ...,xd. Tø (i) ta ÷ñc

p = Ann(0 :Hd

m(M) p) ⊇ Ann(0 :Hd

m(M) I)

vîi méi p l  i¶an nguy¶n tè cõa R chùa I+AnnHmd(M). Do â rad(I+AnnHmd(M)) = \ p⊇I+AnnHd m(M) p ⊇ rad(Ann(0 :Hd m(M) I)). Do â

rad(I+ AnnHmd(M)) = rad(Ann(0 :Hd

m(M) I)). V¼ x = (x1, ...,xd) l  mët h» tham sè cõa Hmd(M) n¶n `(0 :Hd

m(M) I) l  húu h¤n. V¼ th¸ ta ÷ñc I+ AnnHmd(M) l  mët m-i¶an nguy¶n sì.

M°t kh¡c, theo Bê · 2.2.3

rad(AnnHmd(M)) = rad Ann(M/UM(0)),

n¶n I+ Ann(M/UM(0)) l  m-i¶an nguy¶n sì. Do â x = (x1, ...,xd) l  mët h» tham sè cõa M/UM(0).

Ng÷ñc l¤i, gi£ sû r¬ng x = (x1, ...,xd) l  mët h» tham sè cõa M/UM(0). Khi â, I+Ann(M/UM(0)) l  m-i¶an nguy¶n sì, v¼ th¸ I+AnnHmd(M)

công l  m-i¶an nguy¶n sì. Tø â, suy ra `(0 :Hd

m(M) I) < ∞, tùc l  x = (x1, ...,xd) l  mët h» tham sè cõa Hmd(M).

(iii) =⇒ (i). Cho p ∈ V(AnnHmd(M)). Gi£ sû r¬ng N-dim(0 :Hd

m(M) p) =

d− r. Khi â, theo ([21], M»nh · 2.10) tçn t¤i x1, ...,xr ∈ p lªp th nh mët ph¦n h» tham sè cõa Hmd(M) trong p. Rã r ng, ph¦n h» tham sè n y l  cüc ¤i trong p. °t

0 :Hd

m(M) (x1, ...,xr)R = A1 +...+An l  mët biºu di¹n thù c§p tèi thiºu cõa 0 :Hd

m(M) (x1, ...,xr)R, trong â Ai l  qi-thù c§p. Vîi méi y ∈ m, chó þ r¬ng y l  mët ph¦n tû tham sè cõa 0 :Hd

m(M) (x1, ...,xr)R n¸u v  ch¿ n¸u y ∈/ qi vîi måi i thäa m¢n N-dimAi = d−r (Xem [21], Bê · 2.14).

V¼ (x1, ...,xr) l  mët ph¦n h» tham sè cüc ¤i cõa Hmd(M) trong p n¶n ta câ

p ⊆ [

N-dim Ai=d−r qi

v  do â p ⊆ qi vîi i n o â thäa m¢n i·u ki»n N-dimAi = d−r. Tø gi£ thi¸t (iii), ta câ thº kiºm tra r¬ng (x1, ...,xr) l  mët ph¦n h» tham sè cüc ¤i cõa M/UM(0) trong p. V¼ th¸ tçn t¤i mët i¶an nguy¶n tè

q ∈ Ass M/UM(0)/(x1, ...,xr)M/UM(0)

sao cho dimR/q = d−r v  p ⊆ q.

Hìn núa v¼ p ∈ Supp M/UM(0)/(x1, ...,xr)M/UM(0) n¶n ta suy ra

p = q. Do â, dimR/p = d−r. V¼ Ai l  qi-thù c§p, n¶n theo Bê · 2.2.4 (i) ta ÷ñc N-dimAi ≤ dimR/qi. M°t kh¡c, v¼ p ⊆ qi n¶n ta câ

d−r = N-dimAi ≤ dimR/qi ≤dimR/p = d−r. Do â p = qi n¶n suy ra

p ∈ Att(0 :Hd

Khi â, tçn t¤i i¶an nguy¶n tè bp ∈ AttRb(0 :Hd

m(M) (x1, ...,xr)R) sao cho

bp∩R = p. i·u n y k²o theo

p ⊆ Ann(0 :Hd

m(M) p) ⊆ AnnRb(0 :Hd

m(M) bp)∩R =bp∩R = p. Do â Ann(0 :Hd

m(M) p) = p.

Một phần của tài liệu (LUẬN văn THẠC sĩ) môđun đối đồng điều địa phương cấp cao nhất và tính catenary của giá không trộn lẫn của môđun hữu hạn sinh (Trang 34 - 40)

Tải bản đầy đủ (PDF)

(53 trang)