2 MÆUN ÈI ÇNG IU ÀA PH×ÌNG CP CAO
2.2 T½nh ch§t (*) èi vîi mæun èi çng i·u àa ph÷ìng c§p
i·u àa ph÷ìng c§p cao nh§t
Tø ti¸t n y trð v· sau, ta luæn gi£ sû M l R-mæun húu h¤n sinh vîi dimM = d. Trong ti¸t n y, chóng tæi s³ i nghi¶n cùu t½nh ch§t (*) cho mæun èi çng i·u àa ph÷ìng c§p cao nh§t Hmd(M).
¦u ti¶n, chóng tæi s³ tr¼nh b y mët t½nh ch§t °c tr÷ng cõa Hmd(M)
(Xem [5], H» qu£ 3.6). Bê · 2.2.1. N-dimHd
Chùng minh. V¼ M l R-mæun húu h¤n sinh n¶n tçn t¤i mët sè nguy¶n n v mët d¢y khîp ngn c¡c R-mæun húu h¤n sinh:
0→ K →Rn → M → 0.
Khi â ta ÷ñc d¢y khîp Hmd(Rn) →Hmd(M) →0.Hìn núa v¼ dimR = d n¶n ta câ Hmd(R) l mët R-mæun Artin v
AttRb Hmd(R) = {p ∈ SpecR,b dimR/b p = d,dimR/b (mRb+p) = 0}. Do â Hmd(M) l mët R-mæun Artin v
AttRb Hmd(M) ⊆ {p ∈ SpecR,b dimR/b p = d,dimR/b (mRb+p) = 0}. M°t kh¡c v¼ Hmd(M) 6= 0 n¶n AttRb Hmd(M)6= ∅. Do â ta ÷ñc
N-dimR Hmd(M)= N-dimRb Hmd(M) = dimRb Hmd(M) = d. L¤i câ dimR/AnnHmd(M) =d. N¶n tø â suy ra
N-dimHmd(M) =dimR/AnnHmd(M) =d.
K½ hi»u UM(0) l mæun con lîn nh§t cõaM câ chi·u nhä hìnd. Chó þ r¬ng n¸u 0 = \
p∈AssM
N(p) l mët ph¥n t½ch nguy¶n sì thu gån cõa mæun con 0 cõa M. Khi â theo [6], ta câ
UM(0) = \
dimR/p=d
N(p). Do â ta câ
V¼ vªy
SuppM/UM(0) = [
p∈AssM,dimR/p=d
V(p).
ành ngh¾a 2.2.2. SuppM/UM(0) ÷ñc gåi l gi¡ khæng trën l¨n cõa mæun M v ÷ñc k½ hi»u bði UsuppM.
K¸t qu£ ¦u ti¶n v· gi¡ khæng trën l¨n l Bê · sau.
Bê · 2.2.3. Cho p ∈ SuppM. Khi â p ∈ UsuppM n¸u v ch¿ n¸u
p ⊇ AnnHmd(M). °c bi»t UsuppM = V(AnnHmd(M)). Chùng minh. Tø M»nh · 1.8.3, ta câ
AttHmd(M) = {q ∈ AssM : dimR/q = d}.
Hìn núa, theo M»nh · 1.6.3 (ii) tªp c¡c i¶an nguy¶n tè tèi tiºu chùa AnnHmd(M) ch½nh l tªp c¡c ph¦n tû tèi tiºu cõa AttHmd(M). Do â
V(AnnHmd(M)) = [
p∈AssM,dimR/p=d
V(p) = UsuppM.
Chóng ta câ nhúng mèi li¶n h» giúa c¡c i¶an nguy¶n tè li¶n k¸t v c¡c i¶an nguy¶n tè li¶n k¸t cõa ¦y õ m-adic Mc, giúa tªp gi¡ cõa M v gi¡ cõa M .c Ch¯ng h¤n:
AssM = {bp∩R : bp ∈ AssRbMc}. SuppM = {bp∩R : bp ∈ SuppRbMc}. Hìn núa
V¼ vªy, mët c¥u häi tü nhi¶n v· mèi li¶n h» giúa UsuppM v UsuppRbMc ¢ ÷ñc °t ra. Tr÷îc h¸t, chóng ta câ Bê · sau.
Bê · 2.2.4. UsuppM ⊇ {bp∩R : pb∈ UsuppRbMc}.
Chùng minh. Cho bp ∈ UsuppM .c Khi â bp ⊇ bq vîi mët bq ∈ AssRbMc n o â thäa m¢n i·u ki»n dimR/b bq = d. V¼ AssRM = {bp ∩ R : bp ∈ AssMc}
n¶n suy ra bq∩ R ∈ AssM v dimR/bq∩R = d.
V¼ bp ∩ R ⊇ bq ∩ R n¶n tø ành ngh¾a cõa gi¡ khæng trën l¨n ta suy ra
bp∩R ∈ UsuppM. Vªy
UsuppM ⊇ {bp∩R : pb∈ UsuppRbMc}.
Têng qu¡t, hai tªp UsuppM v tªp {bp ∩ R : bp ∈ UsuppRbMc} l kh¡c nhau nh÷ng ành lþ sau s³ chùng minh r¬ng hai tªp hñp â l gièng nhau n¸u v ch¿ n¸u Hmd(M) thäa m¢n t½nh ch§t (*). Hìn núa chóng ta câ mët °c tr÷ng t½nh ch§t (*) thæng qua h» tham sè cõa Hmd(M).
ành lþ 2.2.5. C¡c m»nh · sau l t÷ìng ÷ìng: (i) Hmd(M) thäa m¢n t½nh ch§t (*).
(ii) UsuppM = {bp∩R :bp ∈ UsuppRbMc}.
(iii) Vîi méi d¢y x = (x1, ...,xd) c¡c ph¦n tû trong m, x = (x1, ...,xd)
l mët h» tham sè cõa Hd
m(M) n¸u v ch¿ n¸u nâ l mët h» tham sè cõa M/UM(0).
Chùng minh. (i)⇔ (ii). Tø Bê · 2.2.3 ta ÷ñc V(AnnHmd(M)) = UsuppM v V(AnnRbHmd(M)) = UsuppRbM .c Do â, i·u ki»n (ii) t÷ìng ÷ìng vîi
i·u ki»n
V(AnnHmd(M)) = {bp∩R : bp ∈ V(AnnRbHmd(M))}. Theo M»nh · 2.1.2 ta ÷ñc i·u c¦n chùng minh.
(i) =⇒ (iii). Gi£ sû x = (x1, ...,xd) l mët h» tham sè cõa Hmd(M) v I l i¶an sinh bði x1, ...,xd. Tø (i) ta ÷ñc
p = Ann(0 :Hd
m(M) p) ⊇ Ann(0 :Hd
m(M) I)
vîi méi p l i¶an nguy¶n tè cõa R chùa I+AnnHmd(M). Do â rad(I+AnnHmd(M)) = \ p⊇I+AnnHd m(M) p ⊇ rad(Ann(0 :Hd m(M) I)). Do â
rad(I+ AnnHmd(M)) = rad(Ann(0 :Hd
m(M) I)). V¼ x = (x1, ...,xd) l mët h» tham sè cõa Hmd(M) n¶n `(0 :Hd
m(M) I) l húu h¤n. V¼ th¸ ta ÷ñc I+ AnnHmd(M) l mët m-i¶an nguy¶n sì.
M°t kh¡c, theo Bê · 2.2.3
rad(AnnHmd(M)) = rad Ann(M/UM(0)),
n¶n I+ Ann(M/UM(0)) l m-i¶an nguy¶n sì. Do â x = (x1, ...,xd) l mët h» tham sè cõa M/UM(0).
Ng÷ñc l¤i, gi£ sû r¬ng x = (x1, ...,xd) l mët h» tham sè cõa M/UM(0). Khi â, I+Ann(M/UM(0)) l m-i¶an nguy¶n sì, v¼ th¸ I+AnnHmd(M)
công l m-i¶an nguy¶n sì. Tø â, suy ra `(0 :Hd
m(M) I) < ∞, tùc l x = (x1, ...,xd) l mët h» tham sè cõa Hmd(M).
(iii) =⇒ (i). Cho p ∈ V(AnnHmd(M)). Gi£ sû r¬ng N-dim(0 :Hd
m(M) p) =
d− r. Khi â, theo ([21], M»nh · 2.10) tçn t¤i x1, ...,xr ∈ p lªp th nh mët ph¦n h» tham sè cõa Hmd(M) trong p. Rã r ng, ph¦n h» tham sè n y l cüc ¤i trong p. °t
0 :Hd
m(M) (x1, ...,xr)R = A1 +...+An l mët biºu di¹n thù c§p tèi thiºu cõa 0 :Hd
m(M) (x1, ...,xr)R, trong â Ai l qi-thù c§p. Vîi méi y ∈ m, chó þ r¬ng y l mët ph¦n tû tham sè cõa 0 :Hd
m(M) (x1, ...,xr)R n¸u v ch¿ n¸u y ∈/ qi vîi måi i thäa m¢n N-dimAi = d−r (Xem [21], Bê · 2.14).
V¼ (x1, ...,xr) l mët ph¦n h» tham sè cüc ¤i cõa Hmd(M) trong p n¶n ta câ
p ⊆ [
N-dim Ai=d−r qi
v do â p ⊆ qi vîi i n o â thäa m¢n i·u ki»n N-dimAi = d−r. Tø gi£ thi¸t (iii), ta câ thº kiºm tra r¬ng (x1, ...,xr) l mët ph¦n h» tham sè cüc ¤i cõa M/UM(0) trong p. V¼ th¸ tçn t¤i mët i¶an nguy¶n tè
q ∈ Ass M/UM(0)/(x1, ...,xr)M/UM(0)
sao cho dimR/q = d−r v p ⊆ q.
Hìn núa v¼ p ∈ Supp M/UM(0)/(x1, ...,xr)M/UM(0) n¶n ta suy ra
p = q. Do â, dimR/p = d−r. V¼ Ai l qi-thù c§p, n¶n theo Bê · 2.2.4 (i) ta ÷ñc N-dimAi ≤ dimR/qi. M°t kh¡c, v¼ p ⊆ qi n¶n ta câ
d−r = N-dimAi ≤ dimR/qi ≤dimR/p = d−r. Do â p = qi n¶n suy ra
p ∈ Att(0 :Hd
Khi â, tçn t¤i i¶an nguy¶n tè bp ∈ AttRb(0 :Hd
m(M) (x1, ...,xr)R) sao cho
bp∩R = p. i·u n y k²o theo
p ⊆ Ann(0 :Hd
m(M) p) ⊆ AnnRb(0 :Hd
m(M) bp)∩R =bp∩R = p. Do â Ann(0 :Hd
m(M) p) = p.