2 MỘT SỐ MỞ RỘNG CỦA CÁC ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ
2.2 Định lý giá trị tựa trung bình
Trong mục này, ta thiết lập một định lý giá trị trung bình cho hàm với các đạo hàm đối xứng. Ta sẽ tiếp tục cho thấy rằng mỗi hàm liên tục mà đạo hàm đối xứng của nó có tính chất Darboux tuân theo định lý giá trị trung bình Lagrange.
Định lý giá trị trung bình thông thường thì không đúng cho đạo hàm đối xứng như minh họa ví dụ sau.
Ví dụ 2.2.1 Hàm f(x) = |x| không thỏa mãn định lý giá trị trung bình thông thường trên [−1,2].
Đạo hàm đối xứng của hàm f(x) =|x| được cho bởi
fs(x) = |x| x nếu x 6= 0 0 nếu x = 0.
Chú ý rằng giá trị của fs(x) trong tập {0,−1,1}. Độ dốc của dòng cát tuyến là f(2)−3f(−1) = 13. Vì giá trị của fs(x) không chứa giá trị này do đó không có η sao cho fs(η) = 13.
Bổ đề dưới đây được chứng minh bởi Aull (1967).
Bổ đề 2.2.1. Cho f liên tục trên [a, b] và f khả vi đối xứng trên (a, b). Nếu f(b) > f(a) thì tồn tại một điểm η ∈ (a, b) sao cho fs(η) > 0. Hơn nữa, nếu f(b) < f(a) thì tồn tại một điểm ξ ∈ (a, b) sao cho fs(ξ) 6 0. Chứng minh. Giả sử f(b) > f(a). Cho k là một số thực sao cho f(a) < k < f(b).
Tập
{x ∈ [a, b]|f(x) > k}
bị chặn dưới bởi a. Vì nó là một tập con của R nó có một chặn dưới lớn nhất, gọi là η. Vì f liên tục và k thỏa mãn f(a) < k < f(b), do đó η khác với a và b. Gọi (η −h, η +h) là một lân cận tùy ý của η trong [a, b]. Vì η
là chặn lớn nhất của tập {x ∈ [a, b]|f(x) > k}, có các điểm (η −h, η+ h) sao cho
25 Do đó fs(η) = lim h→0 f(η +h)−f(η −h) 2h > 0.
Tượng tự có thể chứng tỏ rằng nếu f(a) > f(b) thì tồn tại ξ ∈ (a, b) sao cho fs(ξ) 6 0.
Định lý sau đây của Aull (1967) có thể xem như một phiên bản của định lý Rolle cho hàm khả vi đối xứng.
Định lý 2.2.2. Cho f liên tục trên [a, b] và khả vi đối xứng trên (a, b). Giả sử f(a) = f(b) = 0. Khi đó tồn tại η và ξ trong (a, b) sao cho fs(η) > 0
và fs(ξ) 6 0.
Chứng minh. Nếu f ≡ 0 thì định lý rõ ràng đúng. Do đó, ta giả sử f 6= 0. Vì f liên tục và f(a) =f(b) = 0, có x1 và x2 sao cho
f(x1) > 0 và f(x2) < 0 (2.1) hoặc f(x1) < 0 và f(x2) > 0 (2.2) hoặc f(x1) > 0 và f(x2) > 0 (2.3) hoặc f(x1) < 0 và f(x2) < 0. (2.4) Nếu bất đẳng thức (2.1) đúng, khi đó áp dụng Bổ đề 2.2.2 đối với f
trên khoảng [a, x1] ta được
với một vài η ∈ (a, x1) ⊂ (a, b) nào đó. Tương tự áp dụng Bổ đề 2.2.2 đối với f trên khoảng [a, x2] ta được
fs(ξ) 6 0
với ξ ∈ (a, x2) ⊂ (a, b) nào đó. Các trường hợp khác tương tự.
Bây giờ ta chứng minh định lý giá trị tựa - trung bình đối với hàm khả vi đối xứng.
Định lý 2.2.3. Cho f liên tục trên [a, b] khả vi đối xứng trên (a, b). Khi đó tồn tại η và ξ trong (a, b) sao cho fs(η) 6 f(b)−f(a)
b−a 6 fs(ξ). Chứng minh. Định nghĩa bởi g(x) = f(x)−f(a)− f(b)−f(a)
b−a (x−a). Khi đó g(a) = g(b) = 0. Áp dụng định lý trên đối với g trên [a, b], ta có
gs(η) 6 0 và gs(ξ) > 0. (2.5) Từ (2.5) và định nghĩa của g,ta được
fs(η) 6 f(b)−f(a)
b−a 6 fs(ξ).
Từ định lý trên, ta thấy rằng độ dốc của cát tuyến qua các điểm(a, f(a)) và (b, f(b)) có thể không bằng giá trị của đạo hàm đối xứng của f tại một điểm trung gian. Bây giờ câu hỏi đặt ra là điều kiện gì áp dụng cho đạo hàm đối xứng của f để định lý giá trị trung bình sẽ đúng đối với hàm khả vi đối xứng. Ta sẽ chứng tỏ rằng nếu đạo hàm đối xứng của f có tính chất Darboux thì định lý giá trị trung bình sẽ đúng.
Định nghĩa 2.2.4. Một hàm giá trị f xác định trên [a, b] được gọi là có tính chất Darboux nếu bất kì η và ξ trong[a, b], và y là số bất kỳ nằm giữa
27
Ta biết từ việc tính toán rằng mỗi hàm liên tục có tính chất trung gian, nghĩa là có tính chất Darboux. Tính chất Darboux được cho bởi một số nhà toán học ở thế kỷ XIX là tương đương với tính chất của sự liên tục. Vào năm 1875, Darboux chứng tỏ rằng điều này là không hợp lý. Có thế chứng tỏ rằng một hàm có tính chất Darboux có thể gián đoạn khắp nơi. Định lý 2.2.5. Cho f liên tục trên [a, b] và khả vi đối xứng trên (a, b). Nếu đạo hàm đối xứng của f có tính chất Darboux, khi đó tồn tại γ trong
(a, b) sao cho fs(γ) = f(b)−f(a)
b−a .
Chứng minh. Theo định lý trên, ta có η và ξ trong (a, b) sao cho
fs(η) 6 f(b)−f(a)
b−a 6 fs(ξ).
Vì fs(x) có đặc tính Darboux, có tồn tại một γ trong (a, b) sao cho
fs(γ) = f(b)−f(a)
b−a .
Vì hàm khả vi đối xứng không nhất thiết phải khả vi, câu hỏi đặt ra là điều kiện bổ sung gì cần áp đặt áp dụng đối với hàm nó khả vi. Ta thấy rằng sự liên tục của hàm cùng với sự khả vi đối xứng không kéo theo sự khả vi. Trong mục này, ta chứng tỏ bằng định lý tựa - trung bình rằng nếu f(x) và fs(x) đều liên tục, khi đó f là khả vi. Kết quả dưới đây là của Aull(1967).
Định lý 2.2.6. Chof(x) là liên tục và khả vi đối xứng trên (a, b). Nếu đạo hàm đối xứng của f là liên tục trên(a, b) thìf0(x) tồn tại và f0(x) = fs(x). Chứng minh. Chọn h đủ nhỏ để a < x+h < b. Vì fs(x) là liên tục, nó có tính chất Darboux. Áp dụng định lý trung bình đối với f trên [x, x +h],
ta có
fs(η) = f(x+h)−f(x)
h
với η ∈ (x, x+h) nào đó. Lấy giới hạn hai vế khi h → 0 và biết rằng giới hạn vế trái tồn tại, có được f0(x) =fs(x).
Định lý 2.2.7. Cho fs(x) liên tục tại một điểm x = a và cho f(x) liên tục trong một lân cận của a. Khi đó f0(a) tồn tại và f0(a) = fs(a).
Điều này chứng tỏ tính liên tục của fs(x) tại một điểm a và sự liên tục của f(x) trong vùng lân cận của a đủ cho sự tồn tại của f0(a).