2 MỘT SỐ MỞ RỘNG CỦA CÁC ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ
2.3 Một số dạng suy rộng của định lý giá trị trung bình
Kết quả dưới đây được chứng minh bởi Reich (1969), là phiên bản đạo hàm đối xứng của một kết quả được thiết lập bởi Trahan (1966). Kết quả này suy rộng định lý tựa- trung bình cho hàm với đạo hàm đối xứng. Với
f khả vi trên [a, b], ta áp dụng quy ước f0(b) = fs(b).
Định lý 2.3.1. Cho f liên tục trên [a, b] và khả vi đối xứng trên khoảng mở (a, b). Giả sử f khả vi tại bên phải điểm cuối cùng b của [a, b] và
[f(b)−f(a)]f0(b) 6 0. Khi đó tồn tại các điểm η, ξ trong (a, b] sao cho
fs(η) > 0 và fs(ξ) 6 0.
Chứng minh. Nếu f0(b) = 0 thì cho η = b và ξ = b, ta có fs(η) = 0 và
fs(ξ) = 0 sử dụng qui ước f0(b) =fs(b).
Nếu f(b) = f(a), khi đó áp dụng Định lý 2.2.4 đối với f trên [a, b], ta được
29
với η và ξ trong (a, b) bất kì.
Giả sử [f(b) −f(a)]f0(b) < 0. Điều này kéo theo hoặc f0(b) < 0 và
f(b) > f(a) hoặc f0(b) > 0 và f(b) < f(a). Trong trường hợp đầu tiên, vì
f liên tục trên [a, b] và f(b) > f(a) với f giảm tại b, tồn tại một điểm y
trong (a, b) sao cho
f(y) > f(b) > f(a).
Do đó áp dụng Bổ đề 2.2.2 đối với f trên [y, b], ta được fs(ξ) 6 0 với
ξ ∈ (y, b) nào đó. Tương tự áp dụng Bổ đề 2.2.2 đối với f trên [a, b], ta đượcfs(η) > 0với η ∈ (a, b) nào đó. Trường hợp f0(b) > 0vàf(b) < f(a) chứng minh tương tự.
Trong định lý tiếp theo, ta trình bày một phiên bản của định lý giá trị trung bình Flett cho các hàm khả vi đối xứng.
Định lý 2.3.2. Cho f liên tục trên [a, b] và khả vi đối xứng trên khoảng mở (a, b). Giả sử f khả vi tại các đầu mút a và b của [a, b] và
f0(b)− f(b)−f(a) b−a f 0(a)− f(b)−f(a) b−a > 0.
Khi đó có các điểm η, ξ trong (a, b] sao cho
(η −a)fs(η) > f(η)−f(a)
và
(ξ −a)fs(ξ) 6 f(ξ)−f(a).
Chứng minh. Định nghĩa h : [a, b] →R bởi
h(x) = f(x)−f(a) x−a nếu x ∈ (a, b] f0(a) nếu x = a.
Rõ ràng, h là liên tục trên [a, b] và khả vi đối xứng trên (a, b]. Hơn nữa, ta có hs(x) =− h(x) x−a + fs(x) x−a
với mọi x ∈ (a, b]. Bởi vì
f0(b)− f(b)−f(a) b−a f 0(a)− f(b)−f(a) b−a > 0.
Ta thấy rằng [h(b)−h(a)]h0(b) 6 0. Theo định lý trên, ta được
hs(ξ) 6 06 hs(η) với η, ξ ∈ (a, b].Theo định nghĩa của h, ta có
(η −a)fs(η) > f(η)−f(a) và
(ξ −a)fs(ξ) 6 f(ξ)−f(a).
Định lý trên có thể được cải tiến hơn để có định lý giá trị trung bình kiểu Cauchy cho hàm với đạo hàm đối xứng.
Định lý 2.3.3. Cho f và g liên tục trên [a, b] và khả vi đối xứng trên khoảng mở (a, b). Hơn nữa, cho f và g cả hai đều khả vi tại các đầu mút a
và b của [a, b] với g0(a) 6= 0 6= g0(b). Giả sử g(x) 6= g(a) với mọi x ∈ (a, b]
và f0(b) g0(b) − f(b)−f(a) g(b)−g(a) f0(a) g0(a) − f(b)−f(a) g(b)−g(a) > 0.
Tồn tại các điểm η, ξ trong (a, b] sao cho
31
và
[g(ξ)−g(a)]fs(ξ) > [f(ξ)−f(a)]gs(ξ).
Chứng minh. Định nghĩa h : [a, b] →R bởi
h(x) = f(x)−f(a) g(x)−g(a) nếu x ∈ (a, b] f0(a) g0(a) nếu x = a.
Và tiến hành các bước tương tự như chứng minh Định lý 2.3.2