2 MỘT SỐ MỞ RỘNG CỦA CÁC ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ
2.5 Định lý giá trị trung bình đối với các hàm không khả vi
Trong mục này, ta nghiên cứu định lý giá trị trung bình và các suy rộng khác nhau của nó cho hàm không khả vi sử dụng đạo hàm Dini. Định lý đầu tiên là do Castagnoli (1983). Trong định lý này không có thêm điều kiện đưa vào hàm.
Định lý 2.5.1. Cho f : [a, b] → R là hàm giá trị thực với f(a) = f(b). Khi đó tồn tại η, ξ ∈ [a, b] sao cho
37
f+(ξ) > 0 hoặc f−(ξ) > 0. (2.10)
Chứng minh. Ta sẽ chứng minh (2.9) và (2.10) thực hiện tương tự.
Giả sử không tồn tại một η ∈ [a, b] sao cho hoặc f+(η) 6 0 hoặc
f−(η) 6 0. Điều này kéo theo
f+(x) > 0 và f−(x) > 0
với mọi x ∈ [a, b]. Theo Định lý 2.4.7, f tăng chặt địa phương tại mỗi điểm x trong [a, b]. Theo Định lý 2.4.8, f tăng chặt trên [a, b]. Nhưng điều này mâu thuẫn với thực tế là f(a) =f(b). Vậy (2.9) đúng.
Định lý 2.5.2. Cho f : [a, b] → R là hàm giá trị thực với f(a) = f(b). Giả sử f nhận một giá trị cực tiểu m và một giá trị cực đại M trên [a, b]. Nếu m < f(a) = f(b) thì tồn tại η ∈ (a, b) sao cho f−(η) 6 0 6 f+(η). Nếu M > f(a) =f(b) thì tồn tại ξ ∈ (a, b) sao cho f+(ξ) 6 0 6 f−(ξ).
Chứng minh. Cho η ∈ [a, b] sao cho f(η) = m. Giả sử m < f(a) = f(b), khi đó η ∈ (a, b). Vì trong trường hợp này ta có
f(x) > f(η) với mọi x ∈ [a, b], do đó
f−(η) 6 0 6 f+(η).
là đúng. Trường hợp còn lại tương tự.
Định lý 2.5.3. Cho f : [a, b] → R là một hàm liên tục giá trị thực với
f(a) =f(b). Khi đó tồn tại giá trị trung gian η1, η2, η3, η4 ∈ (a, b) sao cho
Chứng minh. Vì f liên tục, ảnh của [a, b] là một khoảng đóng:
{f(x) | x ∈ [a, b]}= [m, M].
Giả sử m = M. Trong trường hợp f là hằng trên [a, b] vì thế tất cả đạo hàm Dini là bằng 0 với mọi x ∈ (a, b) và định lý đúng.
Giả sử M > f(a). Khi đó tồn tại d ∈ (a, b) sao cho f(d) = M. Cho
f(a) < y < M. Vì f liên tục nên có hai điểm d1 ∈ (a, d) và d2 ∈ (d, b) sao cho f nhận giá trị y. Nghĩa là
f(d1) = y = f(d2).
Đặt η1 = d1, η2 = d, η3 = d, η4 = d2. Bất đẳng thức đúng với sự lựa chọn này.
Giả sử m < f(a). Ta chứng minh tương tự. Định lý dưới đây suy ra từ định lý trên.
Định lý 2.5.4. Cho f : [a, b] → R là một hàm liên tục giá trị thực. Khi đó tồn tại giá trị trung gian η1, η2, η3, η4 ∈ (a, b) sao cho
f+(η1) > γ, f+(η2) 6 γ, f−(η3) > γ, f−(η4) 6 γ,
trong đó γ = f(bb)−−fa(a).
Tiếp theo, ta trình bày một mở rộng của định lý giá trị trung bình kiểu Flett của Lakshminarasimhan (1966).
Định lý 2.5.5. Cho f : [a, b] → R liên tục trên [a, b] và khả vi tại x = a
và x = b. Hơn nữa, cho bốn đạo hàm Dini của f là hữu hạn trong (a, b). Khi đó nếu f0(a) =f0(b) thì tồn tại một điểm η ∈ (a, b) sao cho
f+(η) 6 f(η)−f(a)
39
hoặc một điểm ξ ∈ (a, b) sao cho
f−(ξ) 6 f(ξ)−f(a)
ξ −a 6 f+(ξ).
Chứng minh. Không mất tính tổng quát, ta giả sử rằng f0(a) =f0(b) = 0. Vì nếu không ta chỉ xét f(x)−xf0(a). Định nghĩa g : [a, b] →R bởi
g(x) = f(x)−f(a) x−a nếu x ∈ (a, b] f0(a) nếu x = a.
Rõ ràng, hàm g liên tục trong [a, b]. Hơn nữa
g0(b) = − g(b)
b−a.
Ta thấy rằng nếu g(b) > 0 thì g0(b) < 0. Do đó g là hàm giảm tại b, trong khi g(a) = 0.Vì g liên tục trong [a, b], nó đạt cực đại tại một điểm
η ∈ (a, b). Do đó g+(η) 6 0 và g−(η) > 0. Nhưng g+(η) =−f(η)−f(a) (η −a)2 + f+(η) η −a và g+(η) =−f(η)−f(a) (η −a)2 + f−(η) η −a. Do đó ta có bất đẳng thức f+(η) 6 f(η)−f(a) η −a 6 f−(η).
Mặt khác, nếu g(b) < 0 thì g0(b) > 0, vì thế g tăng tại b trong khi
g(a) = 0. Do đó, g đạt cực tiểu tại một điểm ξ ∈ (a, b), vì thế g+(ξ) > 0 và g−(ξ) 6 0 và ta có được các bất đẳng thức khác.
Cuối cùng, nếu g(b) = 0 thì g liên tục trong khoảng đóng [a, b] và
g(a) = 0,g đạt cực đại tại một điểm η hoặc đạt cực tiểu tại một điểm ξ
ở giữa a và b. Do đó, như trước hoặc là g+(η) 6 0 và g−(η) > 0 hoặc
g+(ξ) > 0 và g−(ξ). Những bất đẳng thức này đem lại các bất đẳng thức như đã khẳng định ở định lý.
Kết quả sau đây được thiết lập bởi Reich (1969), tương tự như kết quả đã chứng minh bởi Trahan(1966).
Định lý 2.5.6. Cho f : [a, b] → R liên tục trên [a, b] và khả vi tại điểm
b. Hơn nữa, cho bốn đạo hàm Dini của f là hữu hạn trong (a, b) và cho
[f(b)−f(a)]f0(b) 6 0. Khi đó tồn tại điểm η, ξ trong (a, b] sao cho
f+(η) 6 0 6 f−(η) hoặc f−(ξ) 6 0 6 f+(ξ).
Chứng minh. Nếu f0(b) = 0 thì đặt η = b và ξ = b, ta khẳng định được các bất đẳng thức trong định lý.
Nếu f(b) = f(a), và f là không hằng khi đó bằng tính liên tục, f đạt cực đại của nó tại η và đạt cực tiểu tại ξ trong (a, b). Vì vậy, ta có được bất đẳng thức như khẳng định trong định lý.
Tiếp theo, giả sử [f(b)−f(a)]f0(b) 6 0. Điều này kéo theo f0(b) < 0 và f(b) > f(a) hoặc f0(b) > 0 và f(b) < f(a). Trong trường hợp đầu, vì
f liên tục trong [a, b] và f(b) > f(a) với f giảm tại b, hàm f có một giá trị cực đại tại η ∈ (a, b). Do đó ta có được tập bất đẳng thức đầu tiên của định lý. Tương tự, trong trường hợp thứ hai f có một giá trị cực tiểu tại
ξ ∈ (a, b) nào đó và do đó ta có tập bất đẳng thức thứ hai của định lý. Định lý 2.5.7. Cho f liên tục trong [a, b] và khả vi tại các điểm a và b.
41
Hơn nữa, giả sử bốn đạo hàm Dini là hữu hạn trong (a, b) và
f0(b)− f(b)−f(a) b−a f 0(a)− f(b)−f(a) b−a > 0.
Khi đó tồn tại điểm η, ξ trong (a, b] sao cho
f+(η) 6 f(η)−f(a)
η −a 6 f−(η)
hoặc
f−(ξ) 6 f(ξ)−f(a)
ξ −a 6 f+(ξ).
Chứng minh. Định nghĩa h : [a, b] →R bởi
h(x) = f(x)−f(a) x−a nếu x ∈ (a, b] f0(a) nếu x = a.
Khi đó rõ ràng, h đáp ứng được các định lý trước và do đó định lý này được kéo theo.