X²t h» ph÷ìng tr¼nh sai ph¥n:
x(n+ 1) =f(n, x(n)), x(n0) =x0, (1.44) x(n)∈Rk, f :Z+×Rk →Rk;f(n, x) li¶n töc theo x.
ành ngh¾a 1.5. (Xem [16]) H» ph÷ìng tr¼nh (1.6) vîi i·u ki»n ban ¦u x(n0) =x0 ÷ñc gåi l b i to¡n gi¡ trà ban ¦u.
º nh§n m¤nh sü phö thuëc cõa iºm ban ¦u (n0, x0) ta luæn k½ hi»u nghi»m cõa (1.44) vîi i·u ki»n ban ¦u x(n0) =x0 l x(n, n0, x0).
Vîi mët v²c tì x= (x(1), x(2), ..., x(k))∈Rk, ta ành ngh¾a
kxk= max (|x(1)|,|x(2)|, ...,|x(k)|). Rã r ng k.k l mët chu©n trong Rk.
ành ngh¾a 1.6. (Xem [12]) Nghi»m x(n) = x(n, n0, x0) ÷ñc gåi l
(i) Ên ành n¸u vîi méi ε >0, tçn t¤i δ =δ(ε, n0)>0sao cho vîi b§t k¼ nghi»m x(n) = x(n, n0, x0) cõa (1.44) tho£ kx0−x0k< δ suy ra kx(n)−x(n)k< ε vîi måi n ∈N(n0).
(ii) Hót n¸u tçn t¤iδ=δ(n0) sao cho b§t k¼ nghi»mx(n) = x(n, n0, x0) cõa (1.44) tho£ m¢n kx0−x0k< δ suy ra lim
n→∞kx(n)−x(n)k= 0. (iii) Ên ành ti»m cªn n¸u nâ ên ành v hót.
(iv) Ên ành ·u n¸u nâ ên ành v δ ëc lªp vîi n0, ho°c t÷ìng ÷ìng, n¸u vîi méi ε >0, tçn t¤i δ =δ(ε) sao cho vîi b§t ký nghi»m x(n) = x(n, n0, x0) cõa (1.44) tho£ n1∈N(n0) v kx(n−1)−x(n1)k< δ suy ra kx(n)−x(n)k< ε vîi måi n1∈N(n0).
(v) Hót ·u n¸u nâ hót v δ ëc lªp vîi n0.
(vi) Ên ành ti»m cªn ·u n¸u nâ ên ành ·u v hót ·u. (vii) Hót to n cöc n¸u nâ hót vîi måi x0 ∈Rk.
(viii) Ên ành ti»m cªn to n cöc n¸u nâ ên ành v hót to n cöc.
(ix) Ên ành m¤nh n¸u vîi méi ε >0 tçn t¤i δ=δ(ε) sao cho vîi b§t k¼ nghi»m x(n) = x(n, n0, x0) cõa (1.44) tho£ n1 ∈N(n0) v kx(n1)−x(n1)k < δ suy ra
kx(n)−x(n)k< ε vîi måi n∈N(n0).
(x) Ên ành ti»m cªn mô n¸u tçn t¤i sè λ > 0 v b§t k¼ ε > 0, tçn t¤i sè δ = δ(ε) > 0 sao cho vîi b§t k¼ nghi»m x(n) = x(n, n0, x0) cõa (1.44) tho£ n1∈N(n0) v kx(n1)−x(n1)k< δ suy ra kx(n)−x(n)k< ε.e−λ(n−n1) vîi måi n1∈N(n0).
Nhªn x²t: T½nh ên ành m¤nh k²o theo ên ành ·u, k²o theo t½nh ên ành; v ên ành ti»m cªn mô k²o theo ên ành ti»m cªn ·u, k²o theo t½nh ên ành ti»m cªn. Tuy nhi¶n chi·u ng÷ñc l¤i cõa c¡c ph¡t biºu tr¶n l khæng óng. Chó þ 1.1.
X²t h» ph÷ìng tr¼nh câ d¤ng
x(n+ 1) =f(x(n)) (1.45) v f(0) = 0.Rã r ng (1.45) nhªn nghi»m t¦m th÷íngx(n) = 0, n∈N, n≥n0. N¸u x(n) = x(n, n0, x0) l nghi»m cõa (1.45) th¼ x(n) =x(n−n0,0, x0) công l nghi»m cõa (1.45) Hìn núa, khi x(n0) =x(n0) th¼ x(n) =x(n) vîi måi n∈N, n ≥n0. Do â èi vîi h» (1.45) ta câ thº luæn cho n0 = 0 v n¸u nghi»m t¦m th÷íng ên ành vîi n0= 0 th¼ nâ công ên ành vîi måi n0; i·u â câ ngh¾a l nghi»m t¦m th÷íng ên ành ·u. Tuy nhi¶n, vîi nghi»m khæng t¦m th÷íng cõa (1.45) th¼ t½nh ên ành khæng suy ra ÷ñc t½nh ên ành ·u.
V½ dö 1.8.
Måi nghi»m cõa h» ph÷ìng tr¼nhx(n+1) =x(n)+1câ d¤ngx(n) = x(n0)+n−n0, ta d¹ th§y vîi méiε >0, tçn t¤iδ=εsao cho vîi b§t k¼ nghi»mx(n) =x(n, n0, x0) tho£ kx0−x0k < δ suy ra kx(n)−x(n)k = kx(n0) +n−n0−x(n0)−n+n0k =
kx0−x0k< ε vîi måi n∈N(n0). Do â nâ ên ành nh÷ng khæng bà ch°n. V½ dö 1.9. X²t h» ph÷ìng tr¼nh x1(n+ 1) =x1(n) cos(x21(n) +x22(n))1/2−x2(n) sin(x21(n) +x22(n))1/2, x2(n+ 1) =x1(n) sin(x21(n) +x22(n))1/2−x2(n) cos(x21(n) +x22(n))1/2. H» tr¶n câ hå nghi»m x1(n) =c1cos(c1n+c2), x2(n) = c1sin(c1n+c2)
trong â c1, c2 l h¬ng sè b§t ký. Nghi»m t¦m th÷íngx1(n)≡0, x2(n)≡0 cõa h» ên ành nh÷ng nhúng nghi»m kh¡c th¼ khæng ên ành. Tuy nhi¶n måi nghi»m cõa h» ·u bà ch°n.
Tø hai v½ dö tr¶n ta th§y rã r ng r¬ng kh¡i nhi»m v· sü ên ành v bà ch°n nâi chung l kh¡c nhau trong méi h». Tuy nhi¶n trong tr÷íng hñp h» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh thu¦n nh§t (1.6) th¼ i·u â l tròng nhau.
ành lþ 1.14. (Xem [11]) T§t c£ c¡c nghi»m cõa h» ph÷ìng tr¼nh (1.6) l ên ành khi v ch¿ khi nâ bà ch°n tr¶n N(n0).
Chùng minh
Gi£ sû t§t c£ c¡c nghi»m cõa (1.6) bà ch°n, khi â tçn t¤i mët h¬ng sè csao cho kΦ(n, n0)k ≤ c vîi n ∈ N(n0), trong â Φ(n, n0) l ma trªn cì b£n cõa h» (1.6). N¸u ε >0 th¼ kx0−x0k< ε/c=δ >0. Vªy
kx(n, n0, x0)−x(n, n0, x0)k=kΦ(n, n0)(x0−x0)k ≤ckx0−x0k< ε v do â t§t c£ c¡c nghi»m cõa h» (1.6) l ên ành.
Ng÷ñc l¤i, gi£ sû nghi»m cõa h» ph÷ìng tr¼nh (1.6) ên ành, trong tr÷íng hñp n y nghi»m t¦m th÷íng cõa h» (1.6) ên ành, tùc l : x(n, n0,0)≡0 ên ành. V¼
vªy, cho b§t k¼ ε > 0 tçn t¤i mët δ > 0 tho£ kx0k < δ th¼ kx(n, n0, x0)k < ε, vîi n∈N(n0). M°c kh¡c, tø x(n, n0, x0) = Φ(n, n0)x0, ta câ kx(n, n0, x0)k=kΦ(n, n0).x0k< ε Cho x0 l v²c tì δ 2.ej. Khi â ta câ kΦ(n, n0).x0k=kxj(n)k.δ2 < ε, trong âxj(n)l cët thùj cõa ma trªnΦ(n, n0). Cho n¶n ta câ kΦ(n, n0)k= max1≤j≤nkxj(n)k< 2δε.
Do â, vîi b§t k¼ nghi»m x(n, n0, x0) cõa h» ph÷ìng tr¼nh (1.6) ta câ
kx(n,0, x0)k=kΦ(n,0).x0k< 2ε δ kx0k. H» qu£ 1.10. C¡c ph¡t biºu sau l óng
(i) T§t c£ c¡c nghi»m cõa h» (1.7) l ên ành n¸u v ch¿ n¸u gi¡ trà ri¶ng cõa ma tr¥n A câ mæ un b² hìn ho°c b¬ng 1, c¡c gi¡ trà ri¶ng câ moun b¬ng 1 l ìn.
(ii) T§t c£ c¡c nghi»m cõa h» (1.7) l ên ành ti»m cªn n¸u v ch¿ n¸u gi¡ trà ri¶ng cõa ma tr¥n A câ mæ un b² hìn 1.
Chó þ 1.2.
Trong ành ngh¾a 1.5 gi£ sû nghi»m x(n) cõa h» (1.6) l tçn t¤i tr¶n N(n0). Trong tr÷íng hñp têng qu¡t ta câ thº x²t nghi»m t¦m th÷íng. Theo gi£ sû n y, ta x²t ph²p bi¸n êi y(n) = x(n)−z(n), ð ¥y x(n) l mët nghi»m b§t k¼ cõa (1.6).
V¼ x(n) l nghi»m cõa (1.6) n¶n ta câ
x(n+ 1) =y(n+ 1) +z(n+ 1) =f(n, y(n) +z(n)) v do â
y(n+ 1) =f(n, y(n) +z(n)−f(n, z(n))) = f(n, y(n)). Ta câ h» mîi
câ nghi»m t¦m th÷íng y(n)≡0.
Do â t½nh ên ành cõa nghi»m x(n) cõa h» ph÷ìng tr¼nh (1.6) t÷ìng ÷ìng vîi t½nh ên ành cõa nghi»m t¦m th÷íng cõa h» ph÷ìng tr¼nh (1.46).
ành ngh¾a 1.7. (Xem [11]) iºm x∈Rk gåi l iºm c¥n b¬ng cõa h» ph÷ìng tr¼nh (1.6) n¸u f(n, x) =x vîi n≥n0.
V½ dö 1.10.
Ph÷ìng tr¼nh sai ph¥nx(n+ 1) =x2(n)câ hai iºm c¥n b¬ng l x= 1 v x= 0. Rã r ng, x= 0 l ên ành ti»m cªn ·u, trong khi â x= 1 khæng ên ành. V½ dö 1.11.
Cho ph÷ìng tr¼nh x(n+ 1) = x(n)(2−x(n)) câ hai iºm c¥n b¬ng x = 0 v x = 1. Tø â cæng thùc nghi»m x(n) = x(n, n0, c) = 1−(1−c)2n−n0. Rã r ng l nghi»m x= 0 l khæng ên ành, trong khi â x= 1 l ên ành ti»m cªn ·u.
Ch֓ng 2