ành ngh¾a 2.6. (Xem [11]) H m V ÷ñc gåi l h m Lyapunov tr¶n tªp con H cõa Rk n¸u
(i) V l¶n töc tr¶n H,
(ii) 4V(x)≤0 vîi x, f(x)∈H.
ành ngh¾a 2.7. (Xem [3]) H m V ÷ñc gåi l x¡c ành d÷ìng t¤i x n¸u (i) V(x) = 0,
(ii) V(x)>0 vîi måi x∈B(x, r), x6=x, r >0
trong â B(x, r) = {y ∈ Rk| ky−xk < r} l h¼nh c¦u mð t¥m x b¡n k½nh r trong Rk. H¼nh c¦u B(0, r) ÷ñc k½ hi»u l B(r).
ành lþ 2.9. (Xem [16]) (ành l½ ên ành Lyapunov) N¸u V l mët h m Lya- punov cõa (2.22) trong mët l¥n cªn H cõa iºm c¥n b¬ng x v V x¡c ành d÷ìng t¤i x th¼ x ên ành. N¸u th¶m 4V(x)<0,∀x, f(x)∈H v x6=x th¼ x l ên ành ti»m cªn. Ngo i ra n¸u G=H =Rk v V(x)→ ∞ khi kxk → ∞ th¼ x l ên ành ti»m cªn to n cöc.
ành lþ 2.10. (Xem [16]) N¸uV l mët h m Lyapunov tr¶n tªp{x∈Rk| kxk> α} vîi α > 0, V(x) → ∞ khi kxk → ∞ th¼ t§t c£ c¡c nghi»m cõa (2.22) ·u bà ch°n. Cho tªp E ={x∈R+k :4V(u) = 0} v M l tªp con b§t bi¸n lîn nh§t cõa
E. N¸u M l tªp compact th¼ måi nghi»m x(n,0, x0) cõa (2.22) n¬m trong R+k ti¸n tîi M khi n→ ∞.
ành lþ 2.11. (Xem [16]) N¸u c¡c i·u ki»n cõa ành l½ 2.10 l thäa m¢n v E ={x} ho°c E ={0, x} v khæng câ nghi»m n o n¬m trong R+k câ thº ti¸n tîi 0 khi n → ∞ th¼ x l ên ành to n cöc.
2.2.3 T½nh ên ành cõa mët lîp ph÷ìng tr¼nh sai ph¥n phi tuy¸n câ tr¹X²t ph÷ìng tr¼nh sai ph¥n phi tuy¸n câ d¤ng X²t ph÷ìng tr¼nh sai ph¥n phi tuy¸n câ d¤ng
x(n+ 1) =F(x(n), x(n−1), ..., x(n−k)), n= 0,1, ... (2.23) trong â x(−k), x(−k + 1), ...x(0) l c¡c sè cho tr÷îc, F ∈ C[Ik+1, I], vîi I l kho£ng sè thüc v k l sè nguy¶n d÷ìng cho tr÷îc.
ành ngh¾a 2.8. (Xem [16]) Mët d¢y sè(x(n))∞n =−k gåi l nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (2.23) n¸u nâ tho£ m¢n (2.23) vîi måi n = 0,1, ....
ành lþ 2.12. (Xem [16]) ChoI l mët kho£ng sè thüc , x∈I ÷ñc gåi l iºm c¥n b¬ng cõa (2.23) n¸u x=F(x, x, ...x). Khi â ta câ c¡c ph¡t biºu sau
(i) iºm c¥n b¬ng x cõa ph÷ìng tr¼nh (2.23) ÷ñc gåi l ên ành àa ph÷ìng n¸u ∀ε > 0,∃δ > 0 sao cho méi nghi»m vîi i·u ki»n ban ¦u x(−k), x(−k + 1), ...x(0)∈(x−δ, x+δ) th¼ x(n)∈(x−ε, x+ε),∀n∈N.
(ii) iºm c¥n b¬ng x cõa ph÷ìng tr¼nh (2.23) ÷ñc gåi l ên ành ti»m cªn àa ph÷ìng n¸u nâ ên ành àa ph÷ìng v n¸u ∀γ >0 sao cho vîi x(−k), x(−k+ 1), ...x(0)∈(x−γ, x+γ) th¼ lim
n→∞x(n) = x.
(iii) iºm c¥n b¬ng x cõa ph÷ìng tr¼nh (2.23) ÷ñc gåi l hót to n cöc n¸u måi nghi»m (x(n))∞n =−k cõa ph÷ìng tr¼nh (2.23) ·u hëi tö ¸n x khi n→ ∞. (iv) iºm c¥n b¬ng x cõa ph÷ìng tr¼nh (2.23) ÷ñc gåi l ên ành ti»m cªn to n cöc n¸u nâ ên ành àa ph÷ìng v hót to n cöc.
(v) Ph÷ìng tr¼nh y(n+ 1) = k X i=0 ∂F ∂x(n−i)(x, x, ...x)y(n−i), n= 0,1, ...
÷ñc gåi l ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh li¶n k¸t vîi ph÷ìng tr¼nh (2.23) xung quanh iºm c¥n b¬ng x. (vi) Ph÷ìng tr¼nh λn+1= k X i=0 ∂F ∂x(n−i)(x, x, ...x)λ n−i, n= 0,1, ...
÷ñc gåi l ph÷ìng tr¼nh °c tr÷ng li¶n k¸t vîi ph÷ìng tr¼nh (2.23). V½ dö 2.4.
X²t ph÷ìng tr¼nh
xn+1=xn, n= 0,1, ... (2.24) vîi i·u ki»n ban ¦u l x0. Khi â iºm c¥n b¬ng x= 0 l ên ành àa ph÷ìng, nh÷ng khæng ên ành ti»m cªn àa ph÷ìng. Thªt vªy, nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (2.24) câ d¤ng xn =c, c∈R. Do â ∀ε > 0,∃δ =ε sao cho b§t ký nghi»m xn =c tho£ |x0−0|=|c|< δ, ta câ|xn−0|=|c|< δ =ε.
iºm c¥n b¬ng x = 0 khæng ên ành ti»m cªn àa ph÷ìng v¼ câ sè δ > 0 (khæng phö thuëc v o ε) v nghi»m xn =c sao cho |x0| < δ nh÷ng xn khæng hëi tö v· 0.
V½ dö 2.5.
X²t ph÷ìng tr¼nh
xn+1= 1
3xn, n = 0,1, ... (2.25) vîi i·u ki»n ban ¦u x0. Khi â iºm c¥n b¬ng x= 0 l ên ành ti»m cªn to n cöc. Thªt vªy, nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (2.25) câ d¤ng xn = (13)nx0.
Do â lim
n→∞xn = lim
n→∞(13)nx0 = 0v iºm c¥n b¬ngx= 0 l ên ành àa ph÷ìng. Thªt vªy, ∀ε > 0,∃δ = δ(ε) = ε > 0 sao cho vîi nghi»m xn = (13)nx0 tho£ m¢n
|x0−0|=|x0|< ε th¼ |xn−0|=|(13)nx0| ≤ |x0|< δ =ε.
M»nh · sau th÷íng ÷ñc sû döng º kh£o s¡t t½nh ên ành àa ph÷ìng cõa nghi»m ph÷ìng tr¼nh (2.23) trong tr÷íng hñp k = 1.
M»nh · 2.1. (Xem [16]) X²t ph÷ìng tr¼nh
Gi£ sû x l iºm c¥n b¬ng cõa ph÷ìng tr¼nh (2.26) v ph÷ìng tr¼nh °c tr÷ng li¶n k¸t vîi ph÷ìng tr¼nh (2.26) câ d¤ng
λ2−rλ−s= 0. (2.27)
Khi â
(i) N¸u hai nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (2.27) n¬m trong h¼nh trán ìn và|λ|<1 th¼ iºm c¥n b¬ng x l ên ành ti»m cªn àa ph÷ìng.
(ii) N¸u câ ½t nh§t mët nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (2.27) câ gi¡ trà tuy»t èi lîn hìn 1 th¼ x khæng ên ành.
(iii) i·u ki»n c¦n v õ º hai nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (2.27) n¬m trong h¼nh trán ìn và |λ|<1 l |r|<1−s <2.
(iv) i·u ki»n c¦n v õ º mët nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (2.27) câ gi¡ trà tuy»t èi b² hìn 1 v nghi»m cán l¤i câ gi¡ trà tuy»t èi lîn hìn 1 l r2 > −4s v |r|>|1−s|.
(v) i·u ki»n õ º hai nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (2.27) n¬m trong h¼nh trán ìn và |λ <1 l |r|+|s|<1.
V½ dö 2.6.
X²t ph÷ìng tr¼nh
xn+1=α+ xn−1
xn , n = 1,2, ... (2.28) vîi i·u ki»n ban ¦u l x0, x1. Khi â, iºm c¥n b¬ng x = α+ 1 cõa ph÷ìng tr¼nh l ên ành ti»m cªn àa ph÷ìng n¸u α > 1, khæng ên ành ti»m cªn n¸u 0< α <1.
Thªt vªy, ta câ ph÷ìng tr¼nh °c tr÷ng li¶n k¸t vîi ph÷ìng tr¼nh (2.28) xung quanh iºm c¥n b¬ng x=α+ 1 l λ2+ 1 α+ 1λ− 1 α+ 1 = 0. (2.29) Ta câ |r|+|s|= 2 α+ 1.
N¸u α >1 th¼|r|+|s|<1. Do â, hai nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (2.29) n¬m trong h¼nh trán ìn và |λ| <1 . Theo M»nh · 2.1 th¼ iºm c¥n b¬ng x =α+ 1 l ên ành ti»m cªn àa ph÷ìng.
N¸u α <1th¼ |r|+|s|>1. Do â, ph÷ìng tr¼nh (2.29) câ ½t nh§t mët nghi»m câ gi¡ trà tuy»t èi lîn hìn 1. Theo M»nh · 2.1 th¼ iºm c¥n b¬ng x = α+ 1 khæng ên ành ti»m cªn.
V½ dö 2.7.
X²t ph÷ìng tr¼nh
xn+1 = α−βxn
η−xn−1, n= 1,2..., (2.30) trong â i·u ki»n ban ¦u l x0, x1;α, β, ηl c¡c sè thüc d÷ìng sao choα= (β+4η)2 v η > β. Khi â, iºm c¥n b¬ng cõa ph÷ìng tr¼nh n y l khæng ên ành. Thªt vªy, x²t ph÷ìng tr¼nh x¡c ành iºm c¥n b¬ng x= α−βx η−x . Hay (x)2−(β+η)x+α= 0. N¶n (x− β+η 2 ) 2 = 0. Do â x= β+η 2 .
Ph÷ìng tr¼nh °c tr÷ng li¶n k¸t vîi ph÷ìng tr¼nh (2.30) xung quanh iºm c¥n b¬ng x= β+2η l
λ2+ 2β
η−βλ−η+β
η−β = 0.
°t r=−η2−ββ, s= ηη−+ββ, khi â |r|+|s|= η2−ββ + ηη−+ββ >1 + η2−ββ >1. Theo M»nh · 2.1 th¼ iºm c¥n b¬ng x= β+2η khæng ên ành.
Ch֓ng 3