TNH ÊN ÀNH CÕA MËT SÈ LÎP PH×ÌNG TRNH SA
2.1 T½nh ên ành cõa h» ph÷ìng tr¼nh sai ph¥n tuy¸n t½nh
• H» ph÷ìng tr¼nh sai ph¥n tuy¸n t½nh thu¦n nh§t X²t h» ph÷ìng tr¼nh (1.6)
x(n+ 1) =Ăn)x(n), n≥n0 ≥0.
Gi£ sû Ăn) l ma trªn khæng suy bi¸n vîi måi n ≥n0,Φ(n, n0) l ma trªn cì b£n b§t k¼ cõa h» (1.6).
Ta câ Φ(n, m) = Φ(n, n0)Φ−1(m, n0).
(i) Ên ành n¸u v ch¿ n¸u tçn t¤i h¬ng sè C, sao cho
kΦ(n, n0)k ≤C, n ∈N(n0). (2.1) (ii) Ên ành ·u n¸u v ch¿ n¸u tçn t¤i h¬ng sè d÷ìng C sao cho
kΦ(n, m)k=kΦ(n, n0)Φ(m, n0)k ≤C, n0≤m ≤n ∈N(n0). (2.2) (iii) Ên ành m¤nh n¸u v ch¿ n¸u tçn t¤i h¬ng sè d÷ìng C sao cho
kΦ(n, n0)k ≤C,Φ−1(n, n0)≤C, n∈N(n0). (2.3) (iv) Ên ành ti»m cªn n¸u v ch¿ n¸u
lim
n→∞kΦ(n, n0)k= 0. (2.4) (v) Ên ành ti»m cªn ·u n¸u v ch¿ n¸u tçn t¤i h¬ng sè d÷ìng C v λ >0 sao
cho
kΦ(n, m)k=Φ(n, n0)Φ−1(m, n0)≤C.exp(−λ(n−m)), (2.5) vîi n0≤m ≤n∈N(n0).
Chùng minh
Khæng m§t t½nh têng qu¡t ta gi£ sû Φ(n0, n0) =Ị Ta câ x(n, n0, x0) = Φ(n, n0)x0.
(i) Gi£ sû b§t ¯ng thùc (2.1) óng, tùc l
kΦ(n, n0)k ≤C, n∈N(n0). N¸u ε >0 th¼ kx0−x0k< ε/c=δ >0. Vªy,
kx(n, n0, x0)−x(n, n0, x0)k=kΦ(n, n0)(x0−x0)k ≤ckx0−x0k< ε v do â t§t c£ c¡c nghi»m cõa h» (1.6) l ên ành.
Ng÷ñc l¤i, gi£ sû nghi»m cõa h» ph÷ìng tr¼nh (1.6) ên ành n¶n nghi»m t¦m th÷íng cõa h» (1.6) ên ành, tùc l : x(n, n0,0) ≡ 0 ên ành. V¼ vªy, cho b§t k¼ ε >0 tçn t¤i mët δ >0 tho£ kx0k< δ th¼ kx(n, n0, x0)k< ε, vîi n∈N(n0).
M°c kh¡c, tø x(n, n0, x0) = Φ(n, n0)x0, ta câ
Cho x0 l v²c tì δ
2.ej. Khi â ta câ
kΦ(n, n0).x0k=kxj(n)k.δ2 < ε, trong âxj(n)l cët thùj cõa ma trªnΦ(n, n0). Cho n¶n ta câ kΦ(n, n0)k= max1≤j≤nkxj(n)k< 2δε. Hay
kΦ(n, n0)k< C, vîi C = 2δε.
(ii) Cho x(n) = x(n, n0, x0) l nghi»m cõa h» (1.6). Khi â, b§t k¼ n1∈N(n0) ta câ
x(n) = Φ(n, n0).Φ−1(n1, n0).x(n1). Gi£ sû (2.2) óng, khi â kx(n)k ≤Φ(n, n0).Φ−1(n1, n0).kx(n1)k ≤ kΦ(n, n1)k.kx(n1)k ≤C.kx(n1)k,∀n ≥n1 ≥n0. Vîi ε >0, n1 ≥ n0 v kx(n)k< 2εC =δ(ε)> 0. Suy ra kx(n)k< ε,∀n ≥ n1. Do â x(n) ên ành ·ụ Ng÷ñc l¤i, ta câ Φ(n, n0).Φ−1(n1, n0).x(n1) < ε,∀n ≥ n1 vîi n1 ≥ n0 v kx(n1)k< δ.
B¥y gií ta cho x(n1) = 2δ.ej. Khi â ta câ
Φ(n, n0).Φ−1(n1, n0).x(n1)=kxj(n)k.δ 2 < ε, trong â xj(n) l cët thù j cõa Φ(n, n1). Do â kΦ(n, n1)k= max 1≤j≤nkxj(n)k< 2δε =C. Vªy kΦ(n, n1)k< C. (iii) Gi£ sû (2.3) óng. Cho ε >0 chån δ = 2Cε2. N¸u n1 ≥n0 v kx(n1)k< δ, ta câ kx(n)k=Φ(n, n1).Φ−1(n1, n0)x(n1) ≤ kΦ(n, n0)k.Φ−1(n1, n0).kx(n1)k ≤C2.kx(n1)k< ε,∀n≥n0.
Suy ra x(n) ên ành m¤nh.
Ng÷ñc l¤i, n¸u x(n) ên ành m¤nh, ta suy ra
Φ(n, n0).Φ−1(n1, n0).x(n1)< ε.
Khi â n1 ≥n0 v kx(n1)k< δ. B¥y gií ta cho x(n1) = δ2.ej. Khi â ta câ
Φ(n, n0).Φ−1(n1, n0).x(n1)=kxj(n)k.δ 2 < ε, trong â xj(n) l cët thù j cõa Φ(n, n1). Do â kΦ(n, n1)k= max 1≤j≤nkxj(n)k< 2δε =C.
Tø ành ngh¾a cõa ên ành m¤nh, ta l¦n l÷ñt chån n=n0;n1 =n0. Vªy kΦ(n, n0)k ≤C;Φ−1(n, n0)≤C.
(iv) Ta câ méi nghi»m cõa h» ph÷ìng tr¼nh sai ph¥n (1.6) câ d¤ng x(n) =x(n, n0, x0) = Φ(n, n0).x0.
Tø (2.4) ta suy ra luæn tçn t¤i C sao cho kΦ(n, n0)k ≤ C,∀n ≥ n0. V¼ th¸
kx(n)k ≤C.kx0k. Do â méi nghi»m cõa h» (1.6) bà ch°n. Theo ành l½ 1.14 ta suy ra x(n) ên ành.
M°t kh¡c ta câ kx(n)k →0 khi n → ∞ n¶n nghi»m cõa h» (1.6) ên ành ti»m cªn.
Ng÷ñc l¤i, n¸u nghi»m cõa h» (1.6) ên ành ti»m cªn th¼ nghi»m t¦m th÷íng x(n, n0,0)≡0 ên ành ti»m cªn. Do âkx(n, n0, x0)k →0khin→ ∞vîi kx0k< δ. N¶n kΦ(n, n0)k →0 khi n → ∞.
(v) Gi£ sû (2.5) óng, khi â nghi»m cõa h» (1.6) ên ành ·u theo (ii). Hìn núa, n¸u x(n) = x(n, n0, x0) l mët nghi»m b§t k¼ cõa h» ph÷ìng tr¼nh (1.6) th¼
x(n) = Φ(n, n0)x0 = Φ(n, n0).Φ−1(n1, n0)x(n1);n≥n1. Suy ra
kx(n)k ≤ kΦ(n, n0).Φ(n1, n0)k.kx(n1)k ≤C.kx(n1)k.e−λ(n−n1).
Vªy nghi»m cõa h» ph÷ìng tr¼nh (1.6) l ên ành ti»m cªn ·ụ
Ng÷ñc l¤i, gi£ sû nghi»m cõa h» ph÷ìng tr¼nh (1.6) l ên ành ti»m cªn ·u n¶n nâ ên ành ·ụ
Hìn núa n¸u x(n) = x(n, n0, x0) l mët nghi»m b§t k¼ cõa h» ph÷ìng tr¼nh (1.6) th¼
x(n) = Φ(n, n0)x0 = Φ(n, n0).Φ(n1, n0)x(n1) v do â vîi n ∈N(n1),
kx(n)k ≤Φ(n, n0).Φ−1(n1, n0).kx(n1)k ≤C.kx(n1)k.e−λ(n−n1).
Nh÷ vªy kx(n)k →0 ëc lªp vîi n1, v h» ph÷ìng tr¼nh (1.6) hót ·ụ V¼ th¸ h» ph÷ìng tr¼nh (1.6) ên ành ti»m cªn ·ụ
Ng÷ñc l¤i, n¸u h» ph÷ìng tr¼nh (1.6) l ên ành ti»m cªn ·u th¼ nâ hót ·u v do â vîi méi ε >0, n1 > n0 tçn t¤i δ >0 v K(ε)∈N(1), º kx(n1)k< δ th¼
kx(n)k=kΦ(n, n1)x(n1)k< ε, vîi n1+K(ε)≤n ∈N(n1).
Do â, kΦ(n, n1)k< η <1 vîi n1+K(ε)≤n ∈N(n1), ð ¥y η câ thº chån nhä tuý þ.
Hìn núa tø t½nh ch§t ên ành ti»m cªn ·u ta suy ra t½nh ên ành. Do â
kΦ(n, n1)k ≤C,∀n1 ≤n∈N(n1).
Vîi méi n∈N(n1+m.K(ε), n1+ (m+ 1).K(ε)) trong â m ∈(1) ta câ:
kΦ(n, n1)k =kΦ(n, n1+m.K(ε))k.kΦ(n1+m.K(ε), n1+ (m−1).K(ε))k ...kΦ(n1+K(ε), n1)k ≤c.ηm =c.η−1.ηKm+1(ε)K(ε) ≤c.η−1.η n−n1 K(ε) ≤c1.e−λ(n−n1) , trong â c1=c.η−1 v η1/K(ε) =e−λ.
Chó þ 2.1.
èi vîi h» ph÷ìng tr¼nh (1.7), sü ên ành suy ra ÷ñc sü ên ành ·ụ Tuy nhi¶n èi vîi h» (1.6) i·u â l khæng óng.
Chó þ 2.2.
Tø ành l½ 2.1 ta suy ra èi vîi h» tuy¸n t½nh th¼ ên ành ti»m cªn ·u suy ra ên ành ti»m cªn mô. Tuy nhi¶n t½nh ch§t n y khæng óng èi vîi h» phi tuy¸n. V½ dö 2.1. Nghi»m cõa h» ph÷ìng tr¼nh x(n+ 1) = p x(n) 1 + 2x2(n) l x(n) = x(n0) (1 + 2x2(n0)(n−n0))1/2.
Rã r ng nghi»m t¦m th÷íng cõa ph÷ìng tr¼nh ¢ cho l ên ành ti»m cªn ·u nh÷ng khæng ên ành ti»m cªn mô.
• H» ph÷ìng tr¼nh sai ph¥n tuy¸n t½nh khæng thu¦n nh§t X²t h» ph÷ìng tr¼nh sai ph¥n tuy¸n t½nh khæng thu¦n nh§t
x(n+ 1) =Ăn).x(n) +f(n, x(n)), n≥n0 (2.6) v b i to¡n gi¡ trà ban ¦u
x(n+ 1) =Ăn)x(n) +f(n, x(n)), x(n0) = x0. (2.7) B¬ng ph÷ìng ph¡p bi¸n thi¶n h¬ng sè Lagrange ta th§y nghi»m cõa (2.7) câ d¤ng x(n) = Φ(n, n0)x0+ n X k=n0+1 Φ(n, k)f(k−1, x(k−1)). Gi£ sû f(n, x) tho£ m¢n i·u ki»n
kf(n, x)k ≤α(n).kxk, (2.8) trong â α(n) tho£ Q∞
ành lþ 2.2. (Xem [11]) Gi£ sû i·u ki»n (2.8) ÷ñc tho£ m¢n, khi â n¸u nghi»m t¦m th÷íng cõa h» (1.6) ên ành th¼ nghi»m t¦m th÷íng cõa h» (2.6) công ên ành.
Chùng minh
Gi£ sû x(n) l nghi»m b§t k¼ cõa b i to¡n (2.7), khi â x(n) = Φ(n, n0).x0+ n X k=n0+1 Φ(n, k)f(k−1, x(k−1)). Do â kx(n)k ≤ kΦ(n, n0)k.kx0k+ n X k=n0+1 kΦ(n, k)k.kf(k−1, x(k−1))k. Do kΦ(n, s)k ≤M v do i·u ki»n (1.36) n¶n kx(n)k ≤M.kx0k+M. n X k=n0+1 α(k−1)kx(k−1)k. p döng b§t ¯ng thùc Gronwall, ta thu ÷ñc kx(n)k ≤Mkx0k n Y k=n0+1 [1 +α(k−1)]. Do Q∞
k=0[1 +α(k)]<+∞ n¶n vîi måi n≥n0 ta câ kx(n)k ≤M1.kx0k.
Do â nghi»m t¦m th÷íng cõa h» (2.7) tho£ m¢n ành ngh¾a v· t½nh ên ành. Cho mët sè ` ∈ N(n0) sao cho nghi»m x(n) = x(n, `, x(`))(x(`) 6= 0) cõa h» ph÷ìng tr¼nh (1.6) tçn t¤i tr¶n N(`) v N(`) ={n ∈N(`) :x(n)6= 0} væ h¤n. Cho δ(ε, `) ={x(`)∈Rk : kx(`k)x−k(`x)k(`)kk ≤ε}.
Khi â n¸u x(`) ∈ δ(ε, `) th¼ x(`) = x(`) +kx(`)k.d, trong â kdk ≤ ε, ch¯ng h¤n v²c tì x(`) x§p x¿ x(`) vîi t¤i h¦u h¸tε.
Cho x(n) =x(n, `, x(`)) l nghi»m cõa h» (1.6) tçn t¤i tr¶n N(`). Khi â n¸u Φ(n) l ma trªn cì b£n b§t k¼ cõa h» (1.6) th¼
x(n)−x(n) = Φ(n).Φ−1(n) (x(`) +kx(`)kd−x(`)d−x(`)) v khi â sup x(`)∈δ(ε,`);n∈N(`) kx(n)−x(`)k kx(n)k = kx(`)k kx(n)k.supkdk=ε Φ(n).Φ−1(`).d =α(`, n).ε,
trong â
α(`, n) = kx(`)k kx(n)k.
Φ(n).Φ−1(`).d. (2.9) ành ngh¾a 2.1. (Xem [11]) Ch¿ sè ên ành cõa x(n) = x(n, `, x(`)) t¤i ` l α(n) = sup`<n∈N(`)α(`, n). N¸u α(n) < ∞ th¼ nghi»m x(n) cõa h» ph÷ìng tr¼nh (1.6) gåi l ên ành t¤i `.
ành ngh¾a 2.2. (Xem [3]) N¸u vîi méin ∈N(`) tçn t¤i h¬ng sè C =C(n)>0 sao cho sup`,n∈N(`),`≤nα(`, n) = C < ∞, th¼ nghi»m x(n) cõa h» ph÷ìng tr¼nh (1.6) ên ành y¸ụ
ành ngh¾a 2.3. (Xem [3]) N¸u sup`,n∈N(`),`<nα(`, n) = C <∞, th¼ nghi»m x(n) cõa h» ph÷ìng tr¼nh (1.6) ên ành.
ành lþ 2.3. (Xem [3]) Nghi»m x(n) cõa h» ph÷ìng tr¼nh (1.6) l ên ành t¤i ` n¸u v ch¿ n¸u nâ ên ành y¸ụ
Chùng minh
Tø cæng thùc (2.9), vîi méi n∈N(`) ta luæn câ α(`+ 1, n) = kẰ)x(`)k kx(n)k . Φ(n).Φ−1(`+ 1) ≤ kẰ)k.x(`) x(n). Φ(n),Φ−1(`).A−1(`) = (condẰ)).α(`, n), trong â condB =kBk.B−1. T÷ìng tü nh÷ vªy ta câ α(`, n) = kx(`)k kx(n)k. Φ(n).Φ−1(`+ 1)Ằ) v do â α(`+ 1, n)≥ kx(`+ 1)k kx(`)k .α(`, n). 1 kẰ)k. Hìn núa, tø kx(`+1)k kx(`)k ≥ kA−11(`)k ta nhªn ÷ñc α(`+ 1, n)≥(condẰ))−1α(`, n). Tø â (condẰ))−1α(`, n)≤α(`+ 1, n)≤(condẰ)).α(`, n).
V¼ vªy
(condẰ))−1α(`)≤α(`+ 1)≤(condẰ)).α(`). Tø â ta câ i·u c¦n chùng minh.
ành ngh¾a 2.4. (Xem [11]) N¸u mët trong c¡c ành ngh¾a 2.1 - 2.3 khæng tho£ th¼ h» ph÷ìng tr¼nh (1.6) khæng ên ành.
Chó þ 2.3.
N¸u nghi»m x(n) cõa h» ph÷ìng tr¼nh (1.6) l ên ành th¼ h» ph÷ìng tr¼nh (1.6) ên ành y¸u, tuy nhi¶n i·u ng÷ñc l¤i l khæng óng.
V½ dö 2.2. H» ph÷ìng tr¼nh x(n+ 1) = " 0 1 −1 2 # .x(n) câ mët ma trªn cì b£n l Φ(n) = " n 1 n+ 1 1 # = [x1(n), x2(n)]. Tø kx1(n)k = 2n+ 1,kx2(n)k= 2, cho x(n) =x1(n) α(`, n) = (2`+ 1)(2n−2`+ 1) 2n+ 1 , n > `, v do â α(`) = 2`+ 1.
Suy ra, nghi»m x(n) = x1(n) l ên ành t¤i ` v ên ành y¸u, nh÷ng khæng ên ành. V½ dö 2.3. H» ph÷ìng tr¼nh x(n+ 1) = " 0 1 −2 3 # .x(n) câ mët ma trªn cì b£n l Φ(n) = " 2n 1 2n+1 1 # = [x1(n), x2(n)]. Tø kx1(n)k = 3.2n,kx2(n)k= 2, cho x(n) =x1(n) α(`, n) = 3.2 `(3.2n−2`+1) 3.2n.2` , n > `,
v do â α(`) = 3. Suy ra nghi»m x(n) = x1(n) cõa h» l ên ành do â nâ ên ành y¸u v ên ành t¤i b§t k¼ `.