Nội dung chủ đề Khoảng cách - Cấu trúc luận văn- 123docz.net

8. Cấu trúc luận văn

1.2.1. Nội dung chủ đề Khoảng cách

a) Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Cho điểm O và đường thẳng . Gọi H là hình chiếu của O trên . Khi đó khoảng cách giữa hai điểm O và H được gọi là khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng . Kí hiệu ( , )d O 

* Nhận xét

 M ,OM d O( , )

 Để tính khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng  ta có thể + Xác định hình chiếu H của O trên  và tính OH.

+ Áp dụng công thức.

b) Khoảng cách từ một điểm đến một mp

Cho điểm O và mp (). Gọi H là hình chiếu của O trên ( ) . Khi đó khoảng cách giữa hai điểm O và H được gọi là khoảng cách từ điểm O đến mp (). Kí hiệu ( ,( ))d O 

* Nhận xét

 M( ), OM d O( ,( ))

 Để tính khoảng cách từ điểm O đến mp ( ) ta có thể sử dụng một trong các cách sau:

* Phương pháp chung.

- Dựng mp (P) chứa O và vuông góc với ()

- Tìm giao tuyến  của (P) và ()

- Kẻ OH (H). Khi đó ( ,( ))d O  OH . Đặc biệt:

+ Hình chóp đều có chân đường cao hạ từ đỉnh trùng với tâm mặt đáy. + Hình chóp có một mặt bên vuông góc với đáy thì chân đường vuông góc hạ từ đỉnh sẽ thuộc giao tuyến của mặt bên đó với đáy.

+ Hình chóp có 2 mặt bên vuông góc với đáy thì đường cao chính là giao tuyến của hai mặt bên này.

+ Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau (hoặc tạo với đáy những góc bằng nhau) thì chân đường cao là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy.

+ Hình chóp có các mặt bên tạo với đáy những góc bằng nhau thì chân đường cao là tâm đường tròn nội tiếp đáy.

Cách 2. Tính gián tiếp

Ta thường sử dụng những kết quả sau:

Kết quả 1. Nếu đường thẳng  song song với mp () và M, N thì ( ,( )) ( ,( ))

d M  d N 

Kết quả 2. Nếu đường thẳng  cắt mp () tại điểm I và M, N (M, N không trùng với I) thì ( , ( )) ( ,( )) d M MI d N NI   

c) Khoảng cách từ một đường thẳng đến một mp song song

Cho đường thẳng  song song với mp (). Khoảng cách giữa đường thẳng  và mp () là khoảng cách từ một điểm bất kì của  đến mp (). Kí hiệu ( , ( ))d  

* Nhận xét

 Việc tính khoảng cách từ đường thẳng  đến mp () được quy về việc tính khoảng cách từ một điểm đến một mp.

d) Khoảng cách giữa hai mp song song

Khoảng cách giữa hai mp song song là khoảng cách từ một điểm bất kì của mp này đến mp kia. Kí hiệu (( ),( ))d  

* Nhận xét

 M( ), N( ), MN d(( ),( )) 

 Việc tính khoảng cách giữa hai mp song song được quy về việc tính khoảng cách từ một điểm đến một mp.

e)Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Đường thẳng  cắt cả a và b

đồng thời vuông góc với cả a và b được gọi là đường vuông góc chung của a

và b. Đường vuông góc chung  cắt a tại H và cắt b tại K thì độ dài đoạn thẳng MN gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b. Kí hiệu

( , )

d a b .

* Nhận xét

 Ma N, b MN, d a b( , )

 Để tính khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau a và b ta làm như sau: + Tìm H và K từ đó suy ra ( , )d a b HK

+ Tìm một mp (P) chứa a và song song với b. Khi đó ( , ) ( ,( ))

d a b d b P

+ Tìm cặp mp song song (P),(Q) lần lượt chứa a và b. Khi đó ( , ) (( ),( ))

d a b d P Q

Nếu ab thì ta tìm mp (P) chứa a và vuông góc với b, tiếp theo ta tìm giao điểm I của (P) với b. Trong mp(P), hạ đường cao IH. Khi đó

( , )

d a b IH

Nếu tứ diện ABCD có AC = BD, AD = BC thì đoạn thẳng nối hai trung điểm của AB và CD là đoạn vuông góc chung của AB và CD.

1.2.2. Các thành tố của năng lực chiếm lĩnh tri thức trong dạy học chủ đề Khoảng cách – Hình học 11 chủ đề Khoảng cách – Hình học 11

Dựa trên kết quả nghiên cứu của Kharlamop I.F [25], Nguyễn Bá Kim [26], đồng thời dựa trên các biểu hiện của tính tích cực nhận thức của học sinh theo tác giả Đào Tam – Trần Trung [34] cũng như nghiên cứu của tác giả Nguyễn Hữu Hậu [15] về các hoạt động chiếm lĩnh tri thức,chúng tôi xác định các thành tố của NL chiếm lĩnh tri thức gồm:

1.2.2.1. Năng lực liên tưởng, huy động kiến thức

Con người có những NL khác nhau vì có những tố chất riêng, tức là con người có những tố chất tự nhiên thuận lợi cho sự hình thành và phát triển những NL khác nhau.

Theo G.Polya: “Tất cả những tư liệu, yếu tố phụ, các định lý,… sử dụng trong quá trình giải bài toán được lấy từ đâu? Người giải đã tích lũy được những kiến thức ấy trong trí nhớ, giờ đây rút ra và vận dụng một cách thích hợp để giải bài toán. Chúng ta gọi việc nhớ lại có chọn lọc các tri thức như vậy là sự huy động, việc làm cho chúng thích ứng với bài toán đang giải là sự tổ chức”[10, tr.310].

Như vậy ta có thể hiểu “huy động” là việc nhớ lại có chọn lọc các kiến thức mà mình đã có thích ứng với một vấn đề đặt ra mà mình cần giải quyết trong vốn tri thức của bản thân.

NL huy động kiến thức là gì? Chúng ta có thể hiểu nó như sau: NL huy động kiến thức là một tổ hợp những đặc điểm tâm lý của con người, đáp ứng

việc nhớ lại có chọn lọc những kiến thức mà mình đã có thích ứng với một vấn đề đặt ra trong vốn tri thức của bản thân.

Khi giải một bài toán nào đó, người giải phải hình dung bài toán đó có thuật giải hay không, nếu có thì các bước của thuật giải đó là gì, ở mỗi bước phải sử dụng kiến thức nào và bắt đầu giải. Trường hợp gặp những bài toán lạ, chúng ta biết rằng một kiến thức Toán học mới hay một bài tập toán không thể tự sinh ra một cách độc lập mà nó có những cơ sở nhất định liên quan đến những kiến thức đã có trước đó, do đó người giải cần nhớ lại nhiều kiến thức liên quan sau đó xâu chuỗi, chọn lọc và vận dụng một cách thích hợp để giải. Việc nhớ lại và chọn lọc kiến thức như vậy gọi là sự liên tưởng, huy động kiến thức.

Sự liên tưởng và huy động kiến thức ở mỗi người một khác, khi đứng trước một bài toán cụ thể, có người liên tưởng được nhiều định lý, mệnh đề, bài toán phụ mà những yếu tố này hy vọng sẽ có ích cho ta tìm được lời giải bài toán. Có người chỉ liên tưởng được một số ít định lý, mệnh đề có liên quan… Do vậy sự liên tưởng và huy động kiến thức khi cần thiết phụ thuộc vào khả năng tích lũy kiến thức và phụ thuộc vào sự nhạy cảm trong việc phát hiện mấu chốt của vấn đề trước mắt.

Nếu HS có NL huy động kiến thức tốt thì các em sẽ dễ dàng phân tích bài toán, nắm được bản chất của bài toán, từ

đó tìm ra phương hướng giải của bài toán. Ta xét bài toán sau:

Cho hình lập phương ABCD A B C D. ' ' ' ' cạnh a. Gọi E là trung điểm A B' '.Tính.khoảng cách từ điểm C'đến mp  '  . D EA a O E B' C' D' C A B D A' N K Hình 1.5

Phân tích:

Đây là dạng toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mp. Dạng toán này không phải là một dạng toán lạ. Khoảng cách từ một điểm đến một mp là đoạn vuông góc kẻ từ điểm đó đến mp. Ngay lập tức trong đầu HS sẽ hình dung rằng từ C'dựng một đoạn vuông góc đến mp  ' 

D EA . Tuy nhiên từ C'

phải dựng đoạn vuông góc với đường thẳng nào của mp  ' 

D EA ? Việc phân tích bắt đầu diễn ra.

Nếu từ '

C dựng các đoạn vuông góc tới các cạnh AE, '

AD, '

ED đều không chứng minh được đó là khoảng cách cần tìm.

Đến đây, HS liên tưởng đến một khoảng cách khác và điểm chuyển đổi mà HS nghĩ đến đầu tiên là điểm '

A vì từ ' A , kẻ A K'  AN (N là chân đường vuông góc kẻ từ ' A lên ' ED ) thì sẽ chứng minh được ' A K là khoảng cách từ ' A đến  '  D EA .

Vậy mối quan hệ giữa khoảng cách từ C'đến mp  ' 

D EA và khoảng cách từ ' A đến mp  '  D EA là gì? Ta có: ' '  '    C A  D EA  O nên        ' ' ' ' ' ' , , d C D AE C O A O d A D AE  . Tỉ số ' ' C O

A O bằng bao nhiêu? Việc huy động kiến thức để tìm ra tỉ số này

là thực sự cần thiết và điều đó cần đến những kiến thức trong mp. Hai tam giác EOA' và D OC' 'có:

' ' ' EOA D OC (đối đỉnh). ' ' OA E OC D ( so le trong). ' ' A EOC DO (so le trong).

23 Nên ' ' ' EOA D OC   . Do đó ' ' ' ' ' 2 C O C D A O  A E  . Suy ra  '  '   '  '  ' , 2 , 2 d C D AE  d A D AE  A K.

Việc rèn luyện cho HS NL huy động kiến thức toán học vào giải bài tập vừa hình thành, củng cố cho HS những tri thức, kỹ năng, kỹ xảo vừa phát triển NL tư duy của HS. Việc huy động kiến thức giúp HS từng bước chiếm lĩnh được tri thức.

1.2.2.2. Năng lực biến đổi bài toán về dạng quen thuộc

G.Polya đã từng nói: “Thực tế khó mà đề ra được một bài toán hoàn toàn mới, không giống một chút nào với các bài toán khác, hay là không có một điểm nào chung với các bài toán trước đây đã giải. Nếu có bài toán như vậy nó vị tất đã giải được. Thật vậy khi giải một bài toán, ta luôn luôn phải lợi dụng những bài toán đã giải, dùng kết quả, phương pháp hay là kinh nghiệm có được khi giải các bài toán đó” [9, tr.55].

Việc quy lạ về quen giúp việc giải toán trở nên dễ dàng hơn. Ta xét các bài toán sau:

Bài toán 1: Cho hình chóp S.ABC đáy là tam giác vuông cân tại B,  

SA AB a.

a) Tính khoảng cách từ B đến mp (SAC).

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC.

Bài toán 2: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông ABCD tâm O cạnh a,

SA vuông góc với mp đáy, SA a .

a) Tính khoảng cách từ B đến mp (SAC).

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và AB. Hai ví dụ sau đây thực hiện việc “Quy lạ về quen”.

24 a a C' B' D' C A D B A' a a B' C' A C B A'

Ví dụ 1.5: Cho lăng trụ đứng ABC A B C. ' ' ' có AA' a, tam giác ABC vuông cân tại B, ABa.

a) Tính khoảng cách từ B đến mp  ' '

ACC A .

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A C' và AB.

Phân tích: Mp  ' '

ACC A cũng chính là mp  ' 

A AC . Khi đó khoảng cách từ B đến mp  ' '

ACC A của lăng trụ đứng chính là khoảng cách từB đến mp  ' 

A AC

của hình chópA ABC'. .

Do đó khoảng cách này được tính theo Bài toán 1a) và khoảng cách giữa hai đường thẳng A C'

và AB trong lăng trụ đứng ABC A B C. ' ' ' tương ứng với khoảng cách giữa hai đường thẳng SBvà AC

trong hình chóp S.ABC nên khoảng cách này được tính theo Bài toán 1b).

Ví dụ 1.6: Cho hình lập phương ABCD A B C D. ' ' ' 'cạnh a.

a) Tính khoảng cách từ B đến mp  ' '

ACC A .

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A C' và AB.

Phân tích: Mp  ' '

ACC A cũng chính là mp

 ' 

A AC . Khi đó khoảng cách từ B đến mp

 ' '

ACC A của hình lập phương chính là khoảng cách từ B đến mp  ' 

A AC của hình chópA ABCD'. .

Do đó khoảng cách này được tính theo Bài toán 2a) và khoảng cách giữa hai đường

thẳng '

A C và AB trong hình lập phương ' ' ' '

ABCD A B C Dtương ứng với khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và AB trong hình chóp S.ABCD nên được tính theo Bài toán 2b).

Khi giải toán hình học không gian, nếu GV có thể giúp HS chuyển các khoảng cách cần tìm trong lăng trụ về các khoảng cách trong một hình chóp thì việc giải toán của HS sẽ dễ dàng hơn rất nhiều.

1.2.2.3. Khả năng nêu ra được một số bài tập tương tự cùng với cách giải (có thể là định hướng giải, hoặc quy trình có tính thuật toán, hoặc thuật toán để giải bài toán đó)

Theo Từ điển tiếng Việt, tương tự có nghĩa là “hơi giống nhau” [3, tr.559].

Theo G.Polya: “Tương tự là một kiểu giống nhau nào đó. Có thể nói tương tự là giống nhau nhưng ở mức độ xác định hơn một chút” [11, tr.24].

Tương tự là thao tác tư duy dựa trên sự giống nhau về tính chất và quan hệ của những đối tượng toán học khác nhau [39, tr.24]

Việc HS có thể nêu ra được bài toán tương tự với bài toán đã giải chứng tỏ rằng HS đã chiếm lĩnh được tri thức vừa học. Việc nắm vững kiến thức, làm chủ kiến thức để nêu ra được những bài toán tương tự giúp HS tự tin hơn trong quá trình giải toán và đó cũng là cơ sở để HS khắc sâu và nhớ lâu kiến thức.

Ví dụ 1.7: Cho hình chóp S.ABC đáy là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với đáy, SA a 3.

a) Tính khoảng cách từ B đến mp mp (SAC).

b) Tính khoảng cách từ A đến mp (SBC).

26 a 3 a K J I A C B S Lời giải

a) Gọi I là trung điểm AC. Ta có: BI AC BI SAC BI SA           ,  3 2 a d B SAC BI

   (vì ABC là tam giác đều cạnh a). b) Gọi J là trung điểm BC.

Kẻ AKSJ (1) Ta có:   (2)          BC AJ BC SAJ BC SA BC AK Từ (1) và (2) suy ra AK SBC    ,  d A SBC AK   SAJ

 vuông tại A có AK là đường cao  2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 15 5 3 3 2 a AK AK SA AJ a a              Vậy  ,  15 5 a d A SBC 

Sau khi hướng dẫn HS trình bày bài giải, GV yêu cầu HS dựa trên ví dụ cho bài toán tương tự.

HS có thể đưa ra các bài toán tương tự khác nhau theo hướng nghĩ của các em, tuy nhiên để bám sát ví dụ thì HS phải phân tích được giả thiết, rằng đây là một hình chóp tam giác đáy là tam giác đều có một cạnh bên vuông góc với đáy; các khoảng cách yêu cầu được tính là khoảng cách từ một điểm

đến một mp chứa đường cao và khoảng cách từ chân đường cao đến mặt bên không chứa đường cao.

Nếu thấy được điều này thì các bài toán các em đưa ra có thể là:

Cho hình chóp S.ABC đáy là tam giác đều cạnh a, SB vuông góc với đáy, SBa 3.

a) Tính khoảng cách từ A đến mp (SBC).

b) Tính khoảng cách từ B đến mp (SAC).

(Đổi vai trò của A và B trong bài toán gốc) Hoặc là:

Cho hình chóp S.ABC đáy là tam giác đều cạnh a, SC vuông góc với đáy, SCa 3.

a) Tính khoảng cách từ B đến mp (SAC).

b) Tính khoảng cách từ C đến mp (SAB).

(Đổi vai trò của A và C trong bài toán gốc)

Với những HS linh hoạt hơn, các em có thể thay đổi đường cao. Thay vì đỉnh S nối với A, B hoặc C các em có thể chọn điểm khác trên đa giác đáy chẳng hạn trung điểm của AB hoặc trung điểm BC hoặc trung điểm AC, khi đó sẽ được một bài toán tương tự nhưng có cái mới, tăng độ khó và tính hay so với bài toán ban đầu.

Chẳng hạn:

Cho hình chóp S.ABC đáy là tam giác đều cạnh a. Gọi M là trung điểm

AC, SM vuông góc với đáy, SM a 3. a) Tính khoảng cách từ B đến mp (SAC).

b) Tính khoảng cách từ M đến mp (SBC).

Khả năng sáng tạo là không có giới hạn. Trong quá trình giảng dạy, GV cần quan tâm phát triển khả năng sáng tạo của HS. Đôi lúc việc đưa ra bài

toán tương tự của HS có thể vượt qua dự đoán của GV. Với bài toán gốc ban