Như là một ứng dụng của các kết quả đạt được ở Mục 2.1, trong mục này chúng tôi trình bày câu trả lời cho một Phỏng đoán loại Aizerman đối với các hệ rời rạc.
2.2.1. Phát biểu bài toán (Phỏng đoán loại Aizerman)
Cho trước các ma trận A ∈ Rm×m, D ∈ Rm×l, E ∈ Rq×m. Với γ > 0 bất kỳ, mỗi hệ phương trình tuyến tính
x n+ 1 = A+DP Ex(n), P ∈ Rl×q,kPk < γ, n ∈Z+, (2.23)
là GES nếu và chỉ nếu nghiệm không là GES đối với tất cả các hệ phương trình phi tuyến
x n+ 1 = Ax(n) +DN n, Ex(n), n ∈ Z+, (2.24)
|N(n, y)| ≤ P|y|, ∀n ∈ Z+,∀y ∈ Rq và P ∈Rl×q,kPk < γ. (2.25) Đặc biệt, khiN(·) : R →R, y 7→ N(y),là hàm vô hướng vàD, ET ∈Rm, phỏng đoán trên trở thành phiên bản rời rạc của Phỏng đoán Aizer- man gốc được đặt ra đầu tiên cho hệ phương trình vi phân thường (xem [Ai49]).
Kết quả nổi tiếng của Fitts (1966) [Fi66] khẳng định rằng, nói chung, phỏng đoán Aizerman không đúng. Do đó một câu hỏi tự nhiên được đặt ra ở đây là: Với điều kiện nào của
A, D, E và N thì Phỏng đoán loại Aizerman phát biểu trên là đúng?
Hình: Phỏng đoán Aizerman
2.2.2. Kết quả đạt được
Định lý 2.2.1. Nếu A ∈ Rm+×m và D ∈ R+m×l, E ∈ Rq+×m, khi đó Phỏng đoán loại Aizerman nói trên đúng. Nói cách khác, Phỏng đoán là đúng đối với hệ tuyến tính dương.
Chứng minh. Giả sử (2.23) là GES với bất kỳ P ∈ Rl×q,kPk < γ, với γ > 0. Đặc biệt, hệ không chịu nhiễu (2.18) là GES. Theo Hệ quả 2.1.9 thì (2.23) là GES với P ∈ Rl×q,kPk < kE(I 1
m−A)−1Dk (xem Nhận xét 2.1.10). Ngoài ra tồn tại P0 ∈ Rl+×q,kP0k = kE(I 1
(2.23) không GES vớiP :=P0 (xem [HS98],[SCK97]). Ta chỉ cần chứng minh rằng nghiệm không của (2.24) là GES đối với các hàm phi tuyến thỏa mãn (2.25) với γ := kE(I 1
m−A)−1Dk.Gọi N là hàm thỏa mãn (2.25) với γ := kE(I 1
m−A)−1Dk. Vì P ∈ Rl×q,kPk < kE(I 1
m−A)−1Dk nên nghiệm không của (2.24) là GES, bởi Hệ quả 2.1.8.
Ngược lại, giả sử rằng nghiệm không của (2.24) là GES đối với các hàm phi tuyến N thỏa mãn (2.25) với γ > 0. Khi đó hệ không chịu nhiễu (2.18) là GES. Như đã đề cập ở trên, (2.23) là GES đối với P ∈
Rl×q,kPk < kE(I 1
m−A)−1Dk. Vì vậy ta giả sử rằng γ ≥ 1
kE(Im−A)−1Dk. Chú ý rằng (2.23) là không GES đối vớiP0 ∈Rl+×q,kP0k = kE(I 1
m−A)−1Dk. Điều này có nghĩa là nghiệm không của (2.24) là không GES đối với N
được xác định bởi N(n, y) := P0y, n ∈ Z+, y ∈ Rq. Định lý được chứng minh.
Nhận xét 2.2.2. Trong trường hợp tổng quát, câu hỏi “Với điều kiện nào của các ma trậnA, D,E và N(·,·) thì Phỏng đoán loại Aizerman nói trên đúng?” vẫn còn là vấn đề mở.