các phương trình phi tuyến dừng đơn giản. Các kết quả cho lớp hệ phụ thuộc thời gian không có nhiều và việc thu được các kết quả mới là rất khó, đòi hỏi phải có những ý tưởng mới và sự đột phá về mặt kĩ thuật.
Với một ý tưởng mới và một tiếp cận mới (dựa trên Định lý Perron- Frobenius và nguyên lý so sánh nghiệm), chúng tôi trình bày trong chương này một loạt các điều kiện đủ tường minh cho tính ổn định tiệm cận, ổn định mũ của các hệ phương trình sai phân Volterra phụ thuộc thời gian.
4.2 Ổn định của các hệ phương trình sai phân Volterratuyến tính tuyến tính
4.2.1. Lý thuyết ổn định của các hệ tuyến tính
Xét hệ phương trình sai phân Volterra tuyến tính dừng dạng tích chập
x(n+ 1) =Ax(n) +
n X
i=0
B(n−i)x(i), n ≥n0, (4.1)
trong đó, A ∈Rm×m vàB(·) : Z+ → Rm×m cho trước.
Với n0 ∈ Z+ cho trước, gọi Sn0 là tập hợp tất cả các hàm ϕ(·) :
Z[0,n0] → Rm. Khi đó, với mỗi ϕ ∈ Sn0, chuẩn của ϕ được xác định
như sau
kϕkn0 = max{kϕ(i)k : i ∈Z[0,n0]}.
Với n0 ∈ Z+ cố định và ϕ ∈ Sn0 cho trước, (4.1) có duy nhất nghiệm thỏa mãn điều kiện đầu
x(n) =ϕ(n), n ∈Z[0,n0]. (4.2) Nghiệm này được kí hiệu x(·, n0, ϕ).
Định nghĩa 4.2.1 ([E05]). Giải thức của (4.1) là nghiệm duy nhất của phương trình sai phân ma trận sau đây
R(n+ 1) = AR(n) +
n X
i=0
B(n−i)R(i), R(0) =Im, n ∈Z+.
Định nghĩa 4.2.2 ([EM96]). Hệ (4.1) được gọi là:
(i) ổn định đều nếu với mọi ε > 0 cho trước, tồn tại δ = δ(ε) > 0
sao cho
n0 ∈ Z+, ϕ∈ Sn0, kϕkn0 < δ ⇒ kx(n, n0, x0)k < ε, ∀n ≥ n0.
(ii) ổn định tiệm cận đều (viết tắt là UAS) nếu nó ổn định đều và tồn tại µ > 0 sao cho với mọi ε > 0 cho trước, tồn tại N = N(ε) ∈ Z+
sao cho
n0 ∈Z+, ϕ∈ Sn0, kϕkn0 < µ ⇒ kx(n, n0, ϕ)k < ε, ∀n ≥ N+n0.
Với γ ≥ 1 cho trước,
lγ(Km×m) := (C(n))n ⊂ Km×m : +∞ X kC(n)kγn < +∞ .
Định lý sau đây trình bày điều kiện cần và đủ để (4.1) là UAS.
Định lý 4.2.3 ([EM96]). Giả sử (B(n))n ∈ l1(Rm×m), khi đó các mệnh đề sau là tương đương:
(i) det zIm−A−P+∞
i=0 B(i)z−i = 06 với mọiz ∈C,|z| ≥ 1;
(ii) (R(n))n ∈l1(Rm×m);
(iii) Hệ(4.1) là UAS.
Nhận xét 4.2.4. Các điều kiện (i) và (ii) của Định lý 4.2.3 là không dễ kiểm chứng. Vì vậy, việc tìm ra một lớp hệ có nhiều ứng dụng trong thực tế sao cho các điều kiện ổn định tiệm cận đều của các hệ thuộc lớp này đơn giản, dễ sử dụng là thực sự thú vị và thiết thực.
Định nghĩa 4.2.5 ([NNSM09]). Hệ (4.1) được gọi là hệ dương nếu với bất kỳ n0 ∈ Z+ và bất kỳ ϕ ∈ Sn0, ϕ(j) ≥ 0 với mọi j ∈ Z[0,n0], nghiệm tương ứng của (4.1)-(4.2)x(·, n0, ϕ)cũng không âm, tức làx(n, n0, ϕ) ∈
Rm+,với mọi n ≥ n0.
Định lý 4.2.6([NNSM09]). Hệ(4.1)là hệ dương nếu và chỉ nếuA+B(0)
vàB(n), n ≥ 1, là các ma trận không âm.
Khai thác các tính chất đặc trưng của các hệ dương, P.H.A. Ngoc và các cộng sự (2009, [NNSM09]) đã thu được các tiêu chuẩn tường minh cho tính UAS của các phương trình sai phân Volterra tuyến tính dương.
Định lý 4.2.7 ([NNSM09]). Giả sử (B(n))n ∈ l1(Rm×m) và (4.1) là hệ dương. Khi đó, các điều sau là tương đương:
(i) ρ A+P+∞
n=0B(n) < 1;
(iii) Hệ(4.1) là UAS;
(iv) Với b ∈ Rm tùy ý và b 0, nghiệm tùy ý y của phương trình sai phân y(n+ 1) = Pn
i=0B(n−i)y(i) +bdần về một véctơ xác định và dương nghiêm ngặt (có tất cả các thành phần dương) khi n → +∞; (v) Cho b∈ Rm, b 0, nghiệm y của phương trình sai phân y(n+ 1) =
Pn
i=0B(n −i)y(i) +bvới y(0) ≥ 0 dần về một véctơ dương nghiêm ngặt khi n → +∞.
Sau đây là tiêu chuẩn về tính UAS cho (4.1) khi không có điều kiện dương.
Định lý 4.2.8 ([NNSM09]). Giả sử (B(n))n ∈ l1(Rm×m). Khi đó, hệ
(4.1) (không nhất thiết dương) là UAS nếu
ρ |A+B(0)|+ +∞ X n=0 |B(n)| < 1.
Chú ý rằng, chiều ngược lại của Định lý 4.2.8 là không đúng (xem [EM96, Example 6]).
Định nghĩa 4.2.9 ([EM96]). Hệ (4.1) (hay tổng quát hơn hệ (4.3)) được gọi là ổn định mũ (viết tắt là ES) nếu tồn tại K > 0 và λ ∈ (0,1)
sao cho
kx(n, n0, ϕ)k ≤Kλn−n0kϕkn0, ∀n, n0 ∈Z+, n ≥ n0,∀ϕ ∈ Sn0.
Nhận xét 4.2.10. Khác với các phương trình sai phân tuyến tính có chậm, ổn định mũ và ổn định tiệm cận đều của các hệ phương trình sai phân Volterra tuyến tính là không tương đương. Thực tế, ngay cả đối với (4.1), ổn định mũ là “mạnh hơn” ổn định tiệm cận đều, xem chẳng hạn [EM96].
Định nghĩa 4.2.11 ([EM96]). Cho dãy (B(n))n ∈ l1(Rm×m). Hàm ma trậnB(·) :Z+ →Rm×m được gọi là dần về không với tốc độ mũ(decays exponentially) nếu tồn tạiM > 0 vàv ∈ (0,1) sao cho
kB(n)k ≤ M vn, ∀n ∈Z+.
Định lý 4.2.12([EM96]). Giả sử(B(n))n ∈l1(Rm×m)và lim
n→+∞kR(n)k = 0.Khi đó,R(·)dần về không với tốc độ mũ khi và chỉ khiB(·)dần về không với tốc độ mũ.
Định lý sau đây cho điều kiện đủ để (4.1) là ES.
Định lý 4.2.13 ([EM96]). Giả sử (B(n))n ∈ l1(Rm×m) và hệ (4.1) là UAS. Khi đó,(4.1) là ES khi và chỉ khiB(·) dần về không với tốc độ mũ.
Từ Định lý 4.2.3 và Định lý 4.2.8, ta có tiêu chuẩn sau về tính ES cho hệ phương trình sai phân Volterra tuyến tính dương.
Định lý 4.2.14. Giả sử (4.1) là hệ dương và (B(n))n ∈ l1(Rm×m). Khi đó,(4.1)là ES khi và chỉ khi:
(i) ρ A+P+∞
n=0B(n) < 1.
(ii) B(·) là hàm dần về không với tốc độ mũ.
Gần đây, các bài toán ổn định của các hệ phương trình sai phân Volterra tuyến tính thu hút nhiều sự quan tâm của các nhà nghiên cứu. Tuy nhiên, phần lớn các kết quả đã được công bố tập trung vào các hệ tuyến tính dừng dạng tích chập. Trong phần tiếp theo, chúng tôi trình bày một số điều kiện ổn định mũ mới cho các hệ phương trình sai phân Volterra tuyến tính phụ thuộc thời gian (không phải dạng tích chập).
Xét hệ phương trình sai phân Volterra tuyến tính phụ thuộc thời gian x(n+ 1) = A(n)x(n) + n X k=0 B(n, k)x(k), n ≥n0, (4.3) trong đó A(·) : Z+ → Rm×m và B(·,·) : Z+×Z+ → Rm×m là các hàm cho trước. Với n0 ∈ Z+ cố định và ϕ ∈ Sn0 cho trước, (4.3) có duy nhất nghiệm thỏa mãn điều kiện đầu (4.2), xem chẳng hạn [E05]. Nghiệm này được kí hiệu x(·, n0, ϕ).
Định lý sau đây là một trường hợp riêng của Định lý 4.3.2 sẽ được chứng minh ở Mục 4.3 và vì vậy chứng minh của nó được bỏ qua ở đây.
Định lý 4.2.15. Hệ (4.3) là ES nếu một trong các điều kiện sau đây được thỏa mãn: (i) Tồn tại α > 1 và p ∈Rm +, p 0 sao cho |A(n)|+ n X k=0 |B(n, k)|αn−k p ≤ α−1p, ∀n ∈Z+. (4.4)
(ii) Tồn tại β > 1 và A ∈ R+m×m, ρ(A) <1 sao cho
|A(n)|+ n X k=0 |B(n, k)|βn−k ≤A, ∀n ∈Z+. (4.5)
(iii) Tồn tại γ > 1 sao cho
sup n∈Z+ k|A(n)|k+ n X k=0 k|B(n, k)|kγn−k < 1. (4.6)
Nhận xét 4.2.16. Theo [EM96], (4.1) là ES khi và chỉ khi
det zIm−A− +∞ X i=0 B(i)z−i 6 = 0với mọi z ∈C, |z| ≥ 1, (4.7)
và(B(n))n ∈ lγ(Rm×m)vớiγ > 1.Chú ý rằng, nếuρ(|A|+P+∞
n=0|B(n)|) <
1thì (4.7) thỏa mãn.
Mặt khác, nếu A(n) ≡ A ∈ Rm×m, B(n, k) ≡ B(n − k) ∈ Rm×m
với mọi n, k ∈ Z+, n ≥ k, khi đó (ii) của Định lý 4.2.15 trở thành ρ(A +P+∞
n=0B(n)βn) < 1, với β > 1. Điều này tương đương với ρ(A +
P+∞
n=0B(n))< 1 và (B(n))n ∈lγ(Rm×m) với γ > 1,do tính liên tục của bán kính phổ (xem [Burl88]). Do đó, (ii) của Định lý 4.2.15 được xem là dạng mở rộng của [EM96, Theorem 5].
Đặc biệt, kết quả sau đây được suy ra trực tiếp từ Định lý 4.2.15.
Định lý 4.2.17. Giả sử tồn tại ma trận hằng A ∈ R+m×m và C(·) : Z+ → Rm+×m sao cho |A(n)| ≤ A và |B(n, k)| ≤ C(n−k), ∀n, k ∈Z+, n ≥ k. (4.8) Nếu (C(n))n ∈ lγ(Rm×m) với γ > 1 và ρ(A+P+∞ n=0C(n)) < 1 thì (4.3) là ES.
4.2.2. Ổn định của các hệ chịu nhiễu
Trong mục này, chúng ta xét bài toán ổn định của các hệ phương trình sai phân Volterra tuyến tính dương chịu nhiễu.
Giả sử (4.1) là hệ dương, UAS và (B(n))n ∈ l1(Rm×m). Xét hệ chịu nhiễu có cấu trúc có dạng sau
x(n+ 1) = A+D0∆E0 x(n)+ n X i=0 B(n−i) +D(n−i)Γ(n−i)E(n−i) x(i), (4.9) trong đó, n ∈ , D ∈ m×l, E ∈ q×m, D(·) : → m×r, E(·) :
Z+ →Rs×m cho trước và∆ ∈ Rl×q,Γ(·) : Z+ →Rr×s là các thành phần nhiễu có thể thay đổi.
Bài toán đặt ra là tìm γ > 0 sao cho các hệ chịu nhiễu (4.9) duy trì tính UAS một khi độ lớn của các nhiễu bé hơnγ.
Định lý sau đây cho ta một biên ổn định tường minh của hệ chịu nhiễu (4.9).
Định lý 4.2.18 ([NNSM09]). Giả sử(4.1)là hệ dương, UAS, các ma trận
D0, E0, D(n), E(n), n ∈Z+ là không âm và sup n∈Z+ kD(n)k <+∞, sup n∈Z+ kE(n)k < +∞.
Khi đó hệ chịu nhiễu (4.9)là UAS nếu (Γ(n))n ∈l1(Rm×m) và
k∆k+ +∞ X n=0 kΓ(n)k < 1 supQ∈Ξ,P∈Ω kQ Im−A− +∞ X n=0 B(n)−1Pk , trong đó,Ξ := {E0, E(0), E(1), ...}, Ω :={D0, D(0), D(1), ...}.
Tiếp theo, chúng ta xét bài toán ổn định của các hệ phương trình sai phân Volterra tuyến tính chịu nhiễu afin. Cụ thể hơn, giả sử A và B(·)
của (4.1) chịu nhiễu afin dạng
A ,→A+ N X i=1 αiAi, B ,→B + N X i=1 βiBi, (4.10)
trong đóN ∈ Z+, Ai ∈ Rm×m,(Bi(n))n ∈ l1(Rm×m) (i ∈ N) cho trước. αi, βi ∈ R(i ∈ N)là các tham số thực. Điều này kéo theo hệ chịu nhiễu
có dạng x(n+ 1) = A+ N X i=1 αiAi x(n) + n X i=0 B(n−i) + N X i=1 βiBi(n−i) x(i). (4.11) Định lý sau cho ta một biên ổn định của hệ (4.11).
Định lý 4.2.19([NNSM09]). Giả sử(4.11)là dương, UAS vàAi, Bi(n) ∈
Rm+×m, n ∈Z+ (i ∈N). Khi đó, hệ chịu nhiễu(4.11) là UAS nếu
max max i∈N |δi|,max i∈N |βi| < 1 ρ Im−A−P+∞ n=0B(n)−1 PN i=1Ai+PN i=1 P+∞ n=0Bi(n) .