Trong mục này chúng tôi so sánh kết quả thu được (Định lý 3.1.2, Định lý 3.1.4, Định lý 3.1.6) với một số kết quả gần đây của các tác giả khác.
phương trình sai phân tuyến tính phụ thuộc thời gian với các chậm hằng x(n+ 1) = A0(n)x(n) + s X i=1 Ai(n)x(n−i), (3.41)
là GES nếu supn∈Z+Ps
i=0kAi(n)k < 1. Kết quả này chỉ là một trường hợp riêng của Định lý 3.1.6 (iii). Ngoài ra, các điều kiện đủ của M. Buslowicz (2008, [Bus08, Theorem 2, 3, 5]) về tính GES của (3.41) cũng được suy ra trực tiếp từ Định lý 3.1.6.
Tiếp theo, xét phương trình sai phân trong R x(n+ 1)−x(n) = −px(n) +f n, x(n), x(n−h1), ..., x(n−hs) , (3.42) trong đó0 < p ≤1,hi ∈ Z+ (i ∈s)vàf(·, ...,·) : Z+×Rs+1 → Rlà hàm cho trước.
Gần đây, sử dụng một số bất đẳng thức rời rạc mới, S. Udpin và P. Niamsup (2009, [UN09, Theorem 3.1]) đã chứng minh rằng (3.42) là GES nếu f(n, x0, ..., xs)≤ s X i=0 qi|xi|, ∀(n, x0, ..., xs) ∈Z+×Rs+1, với qi ≥ 0 (i ∈ s0), Ps
i=0qi < p. Rõ ràng, kết quả này được suy ra trực tiếp từ Định lý 3.1.4.
Ngoài ra, E. Liz và J.B. Ferreiro (2002, [LF02, Theorem 2]) đã chỉ ra rằng (3.42) là GES nếu0 < p ≤1 và tồn tại q ∈ (0, p)sao cho
f(n, x0, ..., xs) ≤qmax
i∈s0 |xi|, ∀(n, x0, ..., xs)∈ Z+×Rs+1. (3.43) Chúng ta sẽ chứng minh rằng kết quả này cũng được suy ra từ Định lý 3.1.2. Thật vậy, ta gọi x(·) := x(·;n , ϕ) là nghiệm của (3.42) thỏa mãn
điều kiện đầux(n0 +k) = ϕ(k), k ∈ Z[−r,0]. Không mất tính tổng quát, giả thiết rằng0 := h0 ≤ h1 ≤ h2 ≤ ... ≤ hs. Với mỗi n ∈ Z+,gọi τ(n) là số nguyên bé nhấthi0 (i0 ∈s0)sao chomaxi∈s0 |x(n−hi)| = |x(n−hi0)|. Khi đó τ(·) : Z+ → Z+ thỏa mãn 0 ≤ τ(n) ≤ hs,∀n ∈ Z+. Từ (3.42) và (3.43) ta có
|x(n+ 1)| ≤ (1−p)|x(n)|+qmax
i∈s0 |x(n−hi)|
= (1−p)|x(n)|+q|x(n−τ(n))|. (3.44) Chú ý rằng, bởi Định lý 3.1.6, phương trình sai phân tuyến tính
y(n+ 1) = (1−p)y(n) +qy(n−h(n)),
là GES, với bất kỳ hàm bị chặnh(·) : Z+ → Z+. Đặc biệt,
y(n+ 1) = (1−p)y(n) +qy(n−τ(n)), (3.45) là GES. Do vậy,
|y(n;n0, ψ)| ≤ M βn−n0kψk, ∀n ≥ n0,
vớiM ≥ 1, β ∈ (0,1). Ở đây M vàβ phụ thuộc vàop, q, hs nhưng không phụ thuộc vàox(·;n0, ϕ).
Đặtψ0 := |ϕ|và gọi y(·) := y(·;n0, ψ0) là nghiệm của (3.45) với hàm điều kiện đầu ψ0. Từ (3.43), (3.44) và (3.45), bằng qui nạp, ta có
|x(n)| ≤ y(n), ∀n ≥ n0.
Tiếp theo, S. Udpin và P. Niamsup (2009, [UN09, Theorem 3.2]) đã chỉ ra rằng (3.42) là GES nếu f(n, x0, x1, ..., xs) ≤ s Y i=0 qi|xi|αi, ∀(n, x0, x1, ..., xs) ∈Z+×Rs+1, (3.46) trong đó αi, qi ≥0 (i ∈s0) và Ps i=0αi = 1,Qs i=0qi < p≤ 1.
Chúng ta cũng sẽ chỉ ra rằng kết quả này cũng được suy ra từ Định lý 3.1.6. Thật vậy, doαi ≥0, ∀i ∈s0 vàPs i=0αi = 1, ta có s Y i=0 qi|xi|αi ≤ s Y i=0 qimax i∈s0 |xi|. Do vậy (3.46) kéo theo
f(n, x0, ..., xs) ≤ s Y i=0 qimax i∈s0 |xi|, ∀(n, x0, ..., xs) ∈ Z+×Rs+1, và do đó, (3.42) là GES, theo kết quả vừa chứng minh.
Cuối cùng, R.P. Agarwal và các cộng sự (2008, [Aga08, Theorem 3.2]) đã chứng minh được (3.42) là GES nếu
f(n, x0, ..., xs)≤ δ s X i=0 qi|xi|+ (1−δ) s Y i=0 βi|xi|αi, (3.47)
với mọi (n, x0, ..., xs) ∈ Z+ × Rs+1, trong đó, αi, βi, qi ≥ 0 (i ∈ s0), δ ∈ (0,1), Ps i=0αi = 1 và δ s X i=0 qi+ (1−δ) s Y i=0 βi < p≤ 1.
Điều này được suy ra từ Định lý 3.1.2, bởi một chứng minh tương tự như trên.
Từ các so sánh nói trên, chúng ta thấy rằng các kết quả được trình bày trong chương này bao hàm và cải tiến về chất rất nhiều kết quả được công bố trong thời gian gần đây, xem [Aga08], [Bus08], [Liz11], [LF02], [UN09].
3.4 Kết luận
Với một ý tưởng mới và một cách tiếp cận mới, chúng tôi thu được một loạt các điều kiện đủ tường minh mới cho tính ổn định mũ của các hệ phương trình sai phân phi tuyến phụ thuộc thời gian có chậm tổng quát, với chậm là hàm phụ thuộc thời gian (Định lý 3.1.2, Định lý 3.1.4, Định lý 3.1.6). Các kết quả thu được bao hàm và cải tiến thật sự về chất một loạt các kết quả được công bố gần đây trong [Aga08], [Bus08], [Liz11], [LF02], [UN09] (xem chi tiết ở Mục 3.3).
Trong Mục 3.2, chúng tôi nghiên cứu bài toán ổn định của các hệ phương trình sai phân phi tuyến chịu nhiễu, với nhiễu là các hàm phi tuyến phụ thuộc thời gian tổng quát. Các kết quả về loại bài toán này là không có nhiều trong quá khứ, vì độ khó và tính phức tạp của chúng. Chúng tôi đưa ra một vài biên ổn định cho các hệ chịu nhiễu loại này. Các kết quả thu được là mới ngay cả cho hệ tuyến tính chịu nhiễu có cấu trúc phụ thuộc thời gian và là mở rộng của các kết quả trong [NS03], [HNS03]. Các kết quả chính được trình bày trong chương này được trích từ bài báo [NH13].
CHƯƠNG 4
ỔN ĐỊNH CỦA CÁC HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN VOLTERRA
4.1 Sơ lược về các bài toán ổn định của các hệ phương trình sai phân Volterra
Lý thuyết ổn định của các phương trình vi tích phân Volterra lần đầu tiên được trình bày một cách có hệ thống bởi T.A. Burton vào năm 1983 [Burt83]. Năm 1985, H. Brunner và P.J.V. Houwen trình bày một vài phương pháp số để giải gần đúng các phương trình Volterra và những phương pháp số này sau đó đã dẫn đến việc nghiên cứu các phương trình sai phân Volterra (xem [BH85]). Các phương trình sai phân Volterra có nhiều ứng dụng trong các ngành khoa học khác nhau như: Khoa học máy tính, Cơ học, Sinh học, Điều khiển học, ... (xem [Aga08], [E05], [E09], [Gi07], [ZLLL09], [KP01]).
Những kết quả đầu tiên về lý thuyết ổn định của phương trình sai phân Volterra tuyến tính dạng tích chập được cho bởi M.R. Crisci (1991), S. Murakami (1991), S. Elaydi (1993), ... (xem [CJRV91], [HM91], [Mu91], [E93]). Từ đó các bài toán về các loại ổn định khác nhau ra đời, phát triển nhanh chóng và thu hút sự quan tâm của nhiều nhà nghiên cứu trên thế giới trong suốt những thập niên vừa qua. Một số tác giả có nhiều đóng góp về lý thuyết ổn định của phương trình sai phân Volterra như: R.P. Agarwal (USA), C.T.H. Baker (Anh), E. Braverman (Canada), M.R. Crisci (Ý), C. Cuevas (Bra-xin), S. Elaydi (USA), M.I. Gil’ (I-xra-en), I. Gyõri (Hungary), V.B. Kolmanovskii (Nga), S. Murakami (Nhật), C.G. Philos (Hy Lạp), Y. Raffoul (USA), L. Shaikhet (Ukraina), Y. Song (Trung Quốc), A. Vecchio (Ý), ... (xem [ACF12], [EM96], [BrKa13], [CKRV00],
[EIR03], [KCT03], [LS07], [SB04], [RD03], ... và các tài liệu tham khảo trong đó). Năm 2003, trong bài báo quan trọng dài 68 trang, V.B. Kol- manovskii và các cộng sự đã tổng kết một cách khá đầy đủ (đến năm 2003) các kết quả về tính ổn định và tính bị chặn của nghiệm của nhiều lớp khác nhau các hệ phương trình sai phân Volterra. Nhiều cách tiếp cận khác nhau đã được sử dụng, nhiều điều kiện ổn định và điều kiện bị chặn của nghiệm đã được công bố (xem [KCT03]). Năm 2009, S. Elaydi đã trình bày tổng quan một số kết quả về tính ổn định nghiệm của các hệ phương trình sai phân Volterra tuyến tính với chậm hữu hạn và vô hạn và đặt ra một số câu hỏi mở cho các bài toán ổn định của các hệ phương trình sai phân loại này (xem [E09]).
Cho đến nay, đã có nhiều cách tiếp cận cho bài toán ổn định của các phương trình sai phân Volterra như: hàm Lyapunov, phép biến đổi phức (Z-transform), phương pháp tôpô; các nguyên lý ánh xạ co và các định lý điểm bất động; các bất đẳng thức ma trận; bất đẳng thức Ha- lanay và các dạng tương đương, ... (xem [Aga08], [BrKa12], [CKRV98], [E09], [KCT03], [NNSM09], [SB04], [WZFL13], [WSSC12]). Mặc dù đã có không ít các điều kiện ổn định cho các loại ổn định khác nhau của các phương trình sai phân Volterra, tuy nhiên phần lớn các điều kiện ổn định đã có là không tường minh, khó sử dụng. Chẳng hạn, một số điều kiện ổn định được phát biểu theo “ngôn ngữ” của ma trận giải thức (resolvent matrix) của phương trình Volterra đã cho, trong khi ma trận giải thức là trừu tượng, khó xác định và vì vậy điều kiện ổn định thu được rất khó sử dụng (xem [E09], [EIR03], [KCT03], [SB03], [SB04]). Cách tiếp cận truyền thống sử dụng các hàm Lyapunov thường dẫn đến các điều kiện ổn định được cho dưới dạng bất đẳng thức ma trận phức tạp, phụ thuộc vào nhiều ma trận khác nhau với các ràng buộc cồng kềnh khó kiểm chứng (xem [EIR03], [KR02], [SB04]). Đó là lý do, tại
sao, gần đây, E. Braverman và I.M. Karabash (2012, [BrKa12]) đã đặt ra câu hỏi mở sau cho các bài toán ổn định của các hệ phương trình sai phân Volterra: “Tìm các điều kiện tường minh cho tính ổn định mũ của các hệ phương trình sai phân Volterra với chậm không bị chặn hoặc chậm vô hạn” 1. Do các cách tiếp cận đã có đối với các bài toán ổn định của các phương trình sai phân Volterra còn nhiều hạn chế, các kết quả thu