điểm của trung bình di động là giữ lại được thành phần xu thế, loại bỏ thành phần mùa và giảm được nhiễu [6]. Tiếp theo luận văn trình bày một số trung bình di động thông dụng.
Định nghĩa trung bình di động
Trung bình di động với hệ số {𝜃𝑘} được ký hiệu 𝑀{𝜃𝑘} và định nghĩa: 𝑀(𝑋𝑡) = ∑ 𝜃𝑘
+𝑓 𝑘=−𝑝
𝑋𝑡+𝑘
Trong đó: t là chỉ số thời điểm hiện tại, p là chỉ số quá khứ và f là chỉ số tương lai của chuỗi thời gian.
𝑝 + 𝑓 + 𝑡 gọi là bậc của trung bình di động.
Nếu 𝑝 = 𝑓 thì gọi là trung bình di động trung tâm (centered).
Nếu 𝜃−𝑘 = 𝜃𝑘, ∀𝑘 thì gọi là trung bình di động đối xứng. Ký hiệu của trung bình di động bậc k là: k-MA.
Để tránh mất thông tin của chuỗi dữ liệu sau khi tính trung bình di động, người ta bổ sung trung bình di động bất đối xứng.
Hàm gain và hàm dịch chuyển pha
Cho 𝑋𝑡 = 𝑅𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 + 𝜑)
thì 𝑀(𝑋𝑡) = 𝑀(𝑅𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 + 𝜑)) = 𝐺(𝜔)𝑅𝑠𝑖𝑛[𝜔𝑡 + 𝜑 + Γ(𝜔)]
|𝐺(𝜔)| gọi là hàm gain (gain function) của trung bình di động, cho phép loại bỏ hay giữ lại thành phần có dao động.
Γ(𝜔) gọi là hàm dịch chuyển pha (phase shift function), cho thấy độ trễ.
Trung bình di động giữ lại thành phần đa thức bậc d thì điều kiện là:
∑ 𝜃𝑘 +𝑓 𝑘=−𝑝 = 1 và ∑ 𝑘𝑗𝜃𝑘 +𝑓 𝑘=−𝑝 = 0, 𝑗 = 1, 2, … , 𝑑.
Trung bình di động bậc k muốn loại bỏ thành phần mùa chu kỳ k thì hàm gain bằng 0 tại 2𝜋/𝑘.
Giảm thành phần sai số là giảm ∑+𝑓𝑘=−𝑝𝜃𝑘2
Một số hàm gain thông dụng
Ước lượng thành phần xu thế: sử dụng trung bình 2x4 và 2x12.
𝑀2x4: {1, 2, 2, 2, 1}/8: Loại bỏ được thành phần mùa theo quý, giữ lại được thành phần xu thế tuyến tính, giảm nhiễu được 75% [6].
𝑀2x12: {1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 1}/24: Loại bỏ được thành phần mùa theo tháng, giữ được thành phần xu thế là đường thẳng, giảm nhiễu được hơn 90% [6].
Loại bỏ thành phần mùa: 𝑀3x3: {1, 2, 3, 2, 1}/9, 𝑀3x5: {1, 2, 3, 3, 3, 2, 1}/15, 𝑀3x9: {1, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 2, 1}/27: Giữ lại được thành phần tuyến tính [6].
Trung bình di động Henderson:
Dùng để uớc lượng thành phần xu thế trong dữ liệu tách mùa 𝐴𝑡 = 𝑇𝑡+ 𝐸𝑡.
Trung bình di động Henderson gồm có H5, H7, H9, H13, H23 (chi tiết xem công trình [6]).