Định lý về dãy hội tụ

Sau đây, luận văn sẽ trình bày lại một định lý về dãy hội tụ, cũng là một trong những kiến thức quan trọng liên quan đến việc xét tính đầy đủ của không gian mêtric mờ.

Cho X M, ,* là không gian mêtric mờ và  là tôpô cảm sinh bởi mêtric mờ. Lấy  xn là dãy trong X.

Khi đó xn  x khi và chỉ khi M x x t n, , 1, n .[4]

Chứng minh

Điều kiện cần:

Lấy t0. Giả sử xn  x, với mỗi 0 r 1 tồn tại n0 sao cho

 , ,  n x B x r t , với mọi nn0. Suy ra M x x t n, ,  1 r, do đó 1M x x t n, , r. Vậy M x x t n, , 1 khi n . Điều kiện đủ

Nếu với mỗi t 0, M x x t n, , 1 khi n  thì tồn tại n0 sao cho

 

1M x x tn, , r với mọi nn0.

Suy ra M x x t n, ,  1 r với mọi nn0.

2.15. Định nghĩa dãy Cauchy trong không gian mêtric mờ

Để kết thúc chương 2 về Không gian mêtric mờ, luận văn sẽ giới thiệu lại định nghĩa về dãy Cauchy bởi dãy Cauchy sẽ đóng vai trò quan trọng trong việc nhận dạng một không gian mêtric mờ có làm đầy được hay không ở chương 3.

Một dãy  xn trong không gian mêtric mờ X M, ,* gọi là dãy Cauchy

nếu với mỗi  0,1 ,t 0 , tồn tại n0 sao cho M x x t n, m,  1  với mọi

0

,

Chương 3. GIỚI THIỆU KHÔNG GIAN MÊTRIC PHÂN TẦNG – TÍNH ĐẦY ĐỦ CỦA KHÔNG GIAN MÊTRIC MỜ

Sau khi đã tìm hiểu cũng như nhắc lại các khái niệm và tính chất liên quan đến không gian mêtric, không gian mêtric mờ cũng như dãy Cauchy ở hai chương đầu, tiếp theo luận văn sẽ trình bày khái niệm không gian mêtric mờ phân tầng và các tính chất về tính làm đầy được liên quan đến lớp không gian này. Lí do lựa chọn không gian mêtric mờ phân tầng làm đối tượng nghiên cứu chính là vì sự phổ biến của nó trong lớp các không gian mêtric mờ, mà bằng chứng là khá nhiều các không gian mêtric mờ đồng thời là không gian phân tầng (được đề cập trong các tài liệu [4], [15]).