Trong chương 1, chúng ta đã nhắc đến khái niệm không gian mêtric đầy đủ trong lí thuyết mêtric (xem 1.3.2). Bây giờ, chúng ta sẽ tiến hành khảo sát không gian mêtric mờ đầy đủ và các tính chất của nó.
3.1.1 Định nghĩa không gian mêtric mờ đầy đủ
Cho không gian mêtric mờ X M, ,* thỏa điều kiện mọi dãy Cauchy trong X là hội tụ theo M . [7]
Khi đó X được gọi là không gian mêtric mờ đầy đủ.
Trong trường hợp này, M cũng gọi là đầy đủ.
Như vậy ta thấy khái niệm đầy đủ đối với không gian mêtric mờ cũng tương đồng với không gian mêtric trong lí thuyết cổ điển.
3.1.2 Định lý về không gian mêtric mờ cảm sinh đầy đủ
Cho X M, ,* là không gian mêtric mờ cảm sinh bởi không gian mêtric
X d, . Ta có X M, ,* là đầy đủ khi và chỉ khi X d, là đầy đủ:
, , , , , 0, , t M x y t x y X t t d x y [5]
3.1.3 Định lý về không gian tôpô khả mêtric
Cho không gian mêtric mờ X M, ,*.
Khi đó X,M là không gian tôpô khả mêtric.
Chứng minh Lấy n , ta định nghĩa: 1 1 , | , , 1 n U x y X X M x y n n .
Ta chứng minh Un |n là cơ sở của một cơ sở đều U trên X cảm sinh một tôpô trùng với M .
Đầu tiên ta nhận thấy với mỗi n , x x, |xXU Un, n1Un và
1
n n
U U .
Mặt khác, với mỗi n , tồn tại m sao cho m2n và
1 1 1 1 * 1 1 m m n .
Do vậy Um Um Un. Thật vậy, lấy x y, Um, y z, Um, vì M x y , ,*
không giảm nên M x z, ,1 M x z, , 2
n m . Suy ra M x z, ,1 M x y, ,1 *M y z, ,1 n m m 1 1 1 1 * 1 1 m m n Do đó x z, Un.
Suy ra Un |n là cơ sở của một cơ sở đều U trên X . Vì với mỗi xX và n , ta có: 1 1 1 1 | , , 1 , , n U x y X x y B x n n n n
Vậy X,M là không gian tôpô khả mêtric.
3.1.4 Hệ quả về không gian tôpô khả mêtric
Một không gian tôpô gọi là khả mêtric khi và chỉ khi nó nhận một mêtric mờ tương thích.
Chứng minh
Giả sử X, là không gian khả mêtric.
Lấy d là mêtric trên X tương thích với . Khi đó mêtric mờ Md cảm sinh bởi d tương thích với . Chiều ngược lại suy ra trực tiếp từ định lý 3.1.3, nghĩa là với một không gian mêtric mờ cho trước thì không gian tôpô cảm sinh bởi mêtric mờ này là khả mêtric.
3.1.5 Hệ quả về tính đếm được thứ hai của không gian mêtric mờ khả li
Mọi không gian mêtric mờ khả li là đếm được thứ hai.
Chứng minh
Lấy X M, ,* là không gian mêtric mờ khả li.
Theo định lý 3.1.3, không gian tôpô cảm sinh X,M cũng là không gian mêtric mờ khả li nên là đếm được thứ hai.
Từ các định lý và hệ quả trên (từ 3.1.3 đến 3.1.6), ta đã xây dựng được mối liên hệ giữa một không gian mêtric mờ và không gian tôpô cảm sinh bởi mêtric mờ này. Giờ đây, ta tiếp tục tiến hành kiểm tra về tính đầy đủ.
3.1.6 Định lý về tính khả mêtric đầy đủ
Nếu X M, ,* là không gian mêtric mờ đầy đủ thì X,M là khả mêtric đầy đủ.
Từ chứng minh của định lý 3.1.3, Un |n là cơ sở của một cơ sở đều
U trên X tương thích với M , với
1 1 , | , , 1 n U x y X X M x y n n , với mọi n .
Khi đó tồn tại mêtric d trên X cảm sinh đồng nhất trùng với U . Ta chứng minh mêtric này là đầy đủ.
Lấy dãy Cauchy xn n trong X d, .
Lấy r t, thỏa 0 r 1, t 0 và chọn k sao cho 1
min ,t r
k .
Khi đó tồn tại n0 sao cho x xn, mUk với mọi n m, n0.
Từ đó, với mọi n m, n0, 1 1 , , , , 1 1 n m n m M x x t M x x r k k .
Vậy xn n hội tụ theo M và vì thế d là mêtric đầy đủ trên X .
Kết luận X,M là khả mêtric đầy đủ.
3.1.7 Hệ quả về khả mêtric đầy đủ
Tương tự như với hệ quả 3.1.4, ta có kết quả sau:
Một không gian tôpô là khả mêtric đầy đủ khi và chỉ khi nó nhận một mêtric mờ đầy đủ tương thích.
Chứng minh
Điều kiện đủ suy ra trực tiếp từ định lý 3.1.6. Ta chứng minh điều kiện cần.
Giả sử X, là không gian khả mêtric đầy đủ.
Lấy d là mêtric đầy đủ trên X tương thích với . Theo định lý 3.1.2, mêtric mờ Md cảm sinh bởi d là đầy đủ và tương thích với .
3.1.8 Định nghĩa ánh xạ đẳng cự
Một ánh xạ f X: Y gọi là đẳng cự nếu với mỗi x y, X , t 0 thì
, , , ,
M x y t N f x f y t
Rõ ràng phép đẳng cự là ánh xạ 1-1.
3.1.9 Định nghĩa hai không gian mêtric mờ đẳng cự
Hai không gian mêtric mờ X M, ,* và Y N, ,là đẳng cự nếu tồn tại một ánh xạ đẳng cự đi từ X đến Y.
3.1.10 Định nghĩa cái làm đầy mêtric mờ
Lấy X M, ,* là không gian mêtric mờ.
Cái làm đầy mêtric mờ của X M, ,* là một không gian mêtric mờ đầy đủ Y N, , sao cho X M, ,* là đẳng cự với một không gian con trù mật của
Y.
3.1.11 Định nghĩa về không gian làm đầy được
Lấy X M, ,* là không gian mêtric mờ.
X gọi là làm đầy được nếu nó nhận một cái làm đầy mêtric mờ.
Ở đây ta trình bày ngắn gọn một ví dụ về không gian mêtric mờ làm đầy được. Cho X M, ,* là không gian mêtric mờ với X 0,,
, , min , max , x y t M x y t x y t
và * là tích thông thường. Khi đó X M, ,* là không gian mêtric mờ làm đầy được. Đối tượng này sẽ tiếp tục được tìm hiểu trong phần 3.3.4 của luận văn.
Kế tiếp, luận văn sẽ trình bày định nghĩa dãy tương đương điểm và dãy tương đương, liên quan mật thiết đến điều kiện (ii) trong Định lý 1 về dấu hiệu nhận biết các không gian mêtric mờ làm đầy được.
3.1.12 Định nghĩa dãy tương đương điểm và dãy tương đương
Lấy X M, ,* là không gian mêtric mờ và an , bn là hai dãy Cauchy trong X .
(a) hai dãy trên gọi là tương đương điểm nếu tồn tại s0 sao cho
0
lim n, ,n 1
n M a b s
.
(b) hay dãy trên gọi là tương đương nếu lim n, ,n 1
n M a b t
với mọi t 0
Sau đây, luận văn sẽ nêu lại định lý dùng để kiểm tra tính làm đầy được của một không gian mêtric mờ thay vì sử dụng điều kiện trong định nghĩa 3.1.11. Định lý sau đây đã được đề cập và chứng minh trong [14].
3.1.13 Định lý về không gian mêtric mờ làm đầy được
Lấy X M, ,* là không gian mêtric mờ.
X M, ,* là làm đầy được khi và chỉ khi nó thỏa mãn các điều kiện sau: (i) Lấy hai dãy Cauchy an , bn trong X , một ánh xạ tương ứng t với
lim n, ,n
n M a b t
là ánh xạ liên tục trên 0, lấy giá trị trong 0,1. (ii) Mọi cặp dãy tương đương điểm là tương đương.
Đồng thời, ta cũng sẽ nhắc lại định lý về dấu hiệu nhận biết không gian mêtric mờ làm đầy được đã đề cập trong [15].
3.1.14 Dấu hiệu nhận biết không gian mêtric mờ làm đầy được
Một không gian mêtric mờ X M, ,* gọi là làm đầy được nếu và chỉ nếu với mỗi cặp dãy Cauchy an , bn trong X thì 3 điều kiện sau được thỏa mãn:
(i) Một ánh xạ tương ứng t với lim n, n,
n M a b t , t0 là ánh xạ liên tục trên 0,, xét theo tôpô thông thường trên .
(ii) Mỗi cặp dãy Cauchy tương đương điểm là tương đương, nghĩa là
lim n, n, 1
n M a b s với s0 thì lim n, n, 1
(iii) lim n, n, 0
n
M a b t với mọi t0.
Trong phần kế tiếp, như đã giới thiệu từ trước, chúng ta sẽ khảo sát lớp các không gian mêtric mờ phân tầng, vốn chiếm một số lượng đáng kể trong các không gian mêtric mờ và cũng là đối tượng mà chúng ta sẽ dùng để nghiên cứu tính làm đầy được.