Không gian mêtric mờ phân tầng

3.2.1. Mệnh đề về tương đương điểm và tương đương

Cho X M, , là một không gian Mêtric mờ. Các mệnh đề sau là tương đương:

(i) M a b s , , M a b s ', ',  thì M a b t , , M a b t ', ', , với mọi t0. (ii) M a b s , , M a b s ', ',  thì M a b t , , M a b t ', ', , với mọi t0.

Chứng minh

Ta chứng minh chiều    i  ii , chiều ngược lại chứng minh bằng lập luận tương tự.

Giả sử tồn tại s0 sao cho M a b s , , M a b s ', ', .

Nếu M a b t , , 0M a b t ', ', 0 với t0 0 thì M a b t , , M a b t ', ',  với mọi t0, vô lí.

Do vậy M a b t , , M a b t ', ',  với mọi t0. Giả sử tồn tại t1 sao cho M a b t , , 1M a b t ', ', 1.

Vì Mab t và Ma b' ' t là các ánh xạ liên tục nên Mab Ma b' ' cũng liên tục.

Kết hợp Mab Ma b' ' s 0 và Mab Ma b' ' t1 0, tồn tại t2 s t, 1

hoặc t2 t s1, sao cho Mab Ma b' ' t2 0 tức M a b t , , 2M a b t ', ', 2. Từ đó theo (i) ta có M a b t , , M a b t ', ',  với mọi t0 (vô lí).

Vậy ta có điều cần chứng minh. 

3.2.2. Định nghĩa không gian mêtric mờ phân tầng

Cho X M, , là một không gian mêtric mờ.

X M, , gọi là không gian mêtric mờ phân tầng nếu thỏa mãn một trong hai điều kiện ở định lý 3.2.1.

Khi đó, M,* (hoặc vắn tắt là M ) là mêtric mờ phân tầng trên X . Trong mục tiếp theo, ta sẽ trình bày về một số ví dụ của không gian mêtric mờ phân tầng và các không gian mêtric mờ nhưng không có tính phân tầng.