Phát triển nhóm cơ bản

Cho M là môt đa tạp Rieman với độ cong thiết diện bị chặn trên bởi  0

và :MM là không gian phủ phổ dụng cảm sinh metric * 2

) (dsM

bản  1M x,  tác động gián đoạn thực sự lên một nhóm của các đẳng cự của

M . Giả sử M compact khi đó  có một hệ sinh hữu hạn. (Để thuận tiện ta giả sử rằng tập hệ sinh { ,..1 .,n} là bất biến dưới sự đảo ngược về vị trí).

Vì thế mỗi  thì 1 2···

s

i i i

    . (3)

Chiều dài của , kí hiệu là L  , là khoảng cách nhỏ nhất của s trên tất cả sự biểu diễn của s như một tích của các phần tử sinh. Kí hiệu N s  là số phần tử của  với L( ) s.

3.2.1. Ví dụ Cho Fn là nhóm tự do với n phần tử sinh. Khi đó hàm tăng N

thỏa 1   2

s s

c e N s c e với c c1, , ,2   là các số dương.

Ta có thể tích của quả cầu trong một đa tạp Riemann với độ cong thiết diện bị chặn trên bởi một hàm mũ với số mũ hằng không âm với bán kính của quả cầu. Lấy xM và r0 đủ lớn để ( ( ))

r

B x M

  . Cho d x y( , ) là khoảng cách giữa x y, với x y, M và  inf d B x r , B xr , inf được lấy đối với tất cả   sao cho B xr( ) (B xr( ) ). Vì (B xr( ))M nên tập hữu hạn

1,..., } { n

  gồm các  (với B xr( ) ( ( ))B xr ) là tập các phần tử sinh của . Cho y M  và :I M là một trắc địa nối x với y. Cho

0 1 ... s 1 s 1

o   t t t  t sao cho d( ( ), ( tj  tj1)) và tập xj ( )tj . Lấy j

(có thể giống nhau) sao cho xjj(B xr( )) vì 1 1 1 ( j, j ) j d x x     , 1 1 1 j j      . Ta có 1 1 1 1.( 1 2)...( 2 1)( 1 ) s s s s s           

 là một dạng của chiều dài s trong các

phần tử sinh . Khi đó ta có:

3.2.2. Bổ đề Với các điều kiện và giả thuyết ở trên, nếu d x( , ( )) x s thì

( )

L  s.

Ta có: ( ( ) lim inf R 0 R R vol B x e   (4) (với số nhỏ tùy ý  0). Theo bổ đề 4 và (4) thì tồn tại  0 sao cho

( ) lim inf s 0 s N s e    (5)

Nói cách khác, số dạng của chiều dài s liên quan đến tập các phần tử sinh

 tăng theo cấp số nhân với s. Vai trò của tập sinh ra tập  thì không cần thiết.

3.2.3. Mệnh đề Cho M là một đa tạp Riemann compact với độ cong thiết diện bị chặn trên bởi một số âm không đổi. Khi đó công thức N s( ) có số mũ liên quan bất kỳ tập hệ sinh.

Chứng minh.

Ta chứng minh rằng tính chất của nhóm mũ không phụ thuộc vào việc chọn tập hệ sinh. Nếu 1 và 2 là hai tập hệ sinh, bằng sự biểu số phần tử của mỗi tập ta thấy rằng có một số nguyên k sao cho

1( ) 2( )

N s N ks và

2( ) 1( )

N s N ks .