Liên quan giữa lý thuyết Galois và không gian phủ

Trong tổng quan này, chúng ta sẽ tập trung vào lý thuyết về các phủ của các không gian tôpô và cách sử dụng chúng trong hình học đại số và lý thuyết số. Bản chất của nó,lý thuyết Galois là lý thuyết tương ứng giữa các nhóm đối xứng của những mở rộng trường với mở rộng trường, cung cấp một liên kết giữa lý thuyết nhóm và lý thuyết trường. Các phủ của không gian tô pô được cung cấp cùng một cách hiểu. Ở đây một phủ của không gian tôpô X là không gian tôpô cơ bản với một ánh xạ YX sao cho Y và X "trông giống nhau" tại địa phương. Lý thuyết Galois của lớp phủ sẽ là sự tương ứng giữa các đối xứng của các lớp phủ và nhóm cơ bản, nhóm thứ hai đóng vai trò của nhóm Galois.

Đây thực sự là một phép so sánh và trong trường hợp các đường cong chúng ta có thể thiết lập một liên kết trực tiếp giữa các phủ tôpô và các mở rộng trường của ( )z quay trở lại Riemann.

Nếu xem xét một cách cụ thể trường hợp của lớp phủ với ba điểm quan trọng, điều này bằng cách nào đó vô cùng thiết lập một sự tương ứng giữa các đường cong đại số được xác định trên các trường số và các lớp phủ tôpô. Những phủ này có thể dễ dàng nhận ra bằng các hình vẽ đơn giản.

Chúng cung cấp một cách để mã hóa thông tin trên nhóm Galois về các số hữu tỷ dưới dạng dữ liệu tổ hợp.

Nhìn chung, các ghi chú này nhằm gợi ý một số kết nối hấp dẫn giữa lớp topo và giải tích phức các phát triển hiện đại hơn nhiều trong hình học đại số và số học,mà nó cung cấp những cách mới để nghiên cứu nhóm Galois của .

3.5.1. Nhóm cơ bản và phủ tôpô Galois

Cho ( , )X  là không gian tôpô điểm. Nhóm cơ bản của ( , )X  là nhóm của

các con đường đóng bắt đầu và kết thúc tại •, biến dạng hữu hạn. Kí hiệu 1( , )X 1( )X

   . Cấu trúc nhóm được cho bởi sự hợp thành của các con đường đóng. Ta chỉ xét các không gian tôpô tác động thật sự, để tránh hiểu nhầm ta gọi chúng là CW-phức hoặc đa tạp tôpô. Ta sẽ đưa ra tính chất đặc trưng của nhóm cơ bản dưới dạng các phủ. Cho không gian tôpô X, một phủ Y của X là một không gian tôpô Y, với ánh xạ f Y:  X sao cho với mỗi điểm pX thì

có một lân cận Up của p và một tập T (với tôpô rời rạc) cùng với sơ đồ giao hoán 1( p) p f p f U T U U    với các ánh xạ nêu trên là đồng cấu.

Bằng trực giác, tính địa phương quanh mỗi điểm p, ảnh ngược của f là

một phủ X được liệt kê bởi tập T. Phủ được gọi là tầm thường nếu Up  X , và

để tránh trường hợp này sẽ thừa nhận Y liên thông.

3.5.2. Ví dụ Xét vòng tròn 1

{ ,| | 1}

S  z z  . Ánh xạ n

zz là một ánh xạ phủ của vòng tròn với chính nó, với tập T là nhóm cyclic /n. Một phủ

khác được cho bởi 1

: , ( ) exp(2 ).

f S f t  it

Một con đường đóng trong X là ánh xạ  :S1X hoặc tương đương ánh xạ  :[0;1] X sao cho (0)(1). Một con đường đóng thông thường có

thể không được nâng đến một phủ nhưng ánh xạ  trên một đoạn có thể được •

nâng đến ' nhưng x(0) và '(0) '(1). Nếu ta cố định x(0) thì 1

'(1) ( )

y  f x chỉ phụ thuộc vào lớp đồng luận của  vì thế ta có ánh xạ

1 1( , )X x f ( )x

   là toàn ánh. Nếu ta cố định yf1( )x thì ta có thể xem 1( , y)Y

 như nhóm con của 1( , )X x gồm các con đường đóng sao cho  '(1) y.

3.5.3. Ví dụ Nếu X là liên thông đơn liên nghĩa là 1( , ) 0X x  thì bất cứ phủ của X nhất thiết là tầm thường.

Bất kì không gian tôpô luôn có một không gian phủ phổ dụng. Đây là không gian tôpô liên thông đơn liên X với một phủ p :X X sao cho bất kì phủ liên thông khác f Y:  X thì có một phủ g X: Y thỏa fg  p. Nếu ta cố định

x X và với mỗi phủ liên thông f Y: X có một điểm yY sao cho f(y) x

thì với phủ phổ dụng p : ( , )X x ( , )X x và một phủ f : ( , y)Y ( , )X x ta có ánh xạ g: ( , )X x ( , )Y y là duy nhất sao cho g x( ) y.

Ta có: Nếu Y là phủ phổ dụng của X thì 1( )X có sự tương ứng 1-1 với bất cứ thớ f1( )x .

3.5.4. Ví dụ Nếu một nhóm G tác động gián đoạn thật sự trên X (nghĩa là với mỗi quỹ đạo Gp ta có thể tìm một phủ mở của hợp các tập không giao nhau gp U gp hoán vị bởi G) thì ánh xạ X X G/ là một phủ Galois.

3.5.5. Ví dụ Phủ phổ dụng của 1

S là trong khi phủ phổ dụng của * (đồng luân với 1

S ) là với phủ được cho bởi z

ze , trong khi phủ giới hạn

trên nữa mặt phẳng trên H (cho bởi Im( )z 0) là ánh xạ lên trên đĩa bị thủng đơn vị (0 | | 1 z  ).

3.5.6. Định lý (Định lý cơ bản Galois cho không gian tôpô).

Nếu phủ p: ( , )X x ( , )X x là không gian phủ phổ dụng thì có một đẳng cấu giữa nhóm cơ bản và nhóm các phép biến đổi phủ: 1( , )X x Aut p( ).

Hơn nữa, có một tương ứng giữa các lớp liên hợp của nhóm con của 1( )X

Tương đương, các phủ Galois với nhóm G tương ứng với toàn cấu 1( )X G.

KẾT LUẬN

Trong ba chương của Luận văn này chúng tôi đã giải quyết được cơ bản vấn đề được đặt ra, đó là nghiên cứu về không gian phủ, ánh xạ phủ và sử dụng chúng để tính nhóm cơ bản của một số các không gian tôpô quen thuộc. Chúng tôi cũng mạnh dạn sử dụng định lý Van Kampen để tính được nhóm cơ bản của một số các không gian tôpô tích.

Một phần khác của bản Luận văn đó tìm hiểu về mối quan hệ giữa nhóm cơ bản với lý thuyết nhóm và liên quan tới lý thuyết Galois. Đây là một vấn đề rất mới, đòi hỏi nhiều thời gian và đòi hỏi phải trang bị nhiều kiến thức,nhất là các kiến thức về lý thuyết mở rộng trường. Do đó trong luận văn này, chúng tôi chỉ mới tiếp cận với những khái niệm ban đầu, đặt nền tảng cho những nghiên cứu tiếp tục sau này. Trong thời gian tới sau khi hoàn thành luận văn, chúng tôi vẫn muốn tiếp tục đi sâu vào tìm hiểu những vấn đề được đặt ra về mối liên hệ với lý thuyết Galois.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Đậu Thế Cấp, Tôpô đại cương, Nxb Giáo dục, 2005.

[2] Nguyễn Văn Đoành,Tạ Mân, Nhập môn Tôpô đại số (Đồng điều và đồng luân),

Nxb Đại Học Sư Phạm, 2009.

[3] Trần Tráng, Tôpô đại cương, Nxb Đại học Sư Phạm Tp.HCM, 2001.

[4] A.Tekcan, M.Bayraktar and O.Bizim, On the Covering Spaces and the Automorphism Group of the Covering Space, xuất bản bởi Balkan Journal of Geometry and Its Applications, Vol 8, No.1, 2003, pp 101-108.

[5] David Glickenstein, Covering Spaces. (https: //www.math.arizona.edu/ ~glickenstein/math534_1011/coveringspaces.pdf)

[6] Dennis Eriksson, Galois theory and covering, Ulf Persson, Normat 59:3, 1–8 2011

[7] Makoto Masummoto, Galois reprentations in fundamental groups and their Lie algebras, 2005 (http://swc.math.arizona.edu/aws/2005/05MatsumotoNotes.pdf) [8] Mehrdad Shahshahani, Differential geometry and topolog

(http://math.ipm.ac.ir/shahshahani/diffgeo.html)

[9] Samantha Nieveen and Allison Smith, Covering spaces and subgroups of the Free Group, xuất bản bởi Semantic Scholar (semanticscholar.org), 2006.