3.3.1. Định lý Mỗi nhóm con rời rạc E m( ) với nhóm thương \ m
compact làm cho dãy sau là dãy khớp
0 L G 1 (6) Trong đó:
. Nhóm con chuẩn tắc L Rm là một nhóm giao hoán tự do với phần tử sinh
hữu hạn cấp m và là nhóm giao hoán cực đại. . Nhóm Glà nhóm hữu hạn .
Ngược lại, một nhóm chứa một nhóm giao hoán tự do cấp m sao cho i. L là nhóm con chuẩn tắc;
iii. L là nhóm con giao hoán cực đại của ;
thì có thể được xem như một nhóm con rời rạc của E m( ) với không gian quỹ
đạo compact \ m.
(Ta giả sử m2 ; trường hợp m1 thì dễ xem xét riêng)
Một kết quả trực tiếp của định lý 1 là có một nhóm thỏa mãn giả thiết
của định lý có thể được xem như một nhóm con của m.GL m( , ) (tích nửa trực tiếp) mà ảnh qua phép chiếu m.GL m( , )GL m( , ) là hữu hạn.
Định lý không đúng nếu không có giả thuyết tính compact của không gian rời rạc \ m. Thật vậy, cho m V1 V2, 0 u V1 n,AO m( n) (tác động lên
2
V ) là một phần tử có bậc vô hạn và là nhóm con sinh bởi chuyển động
Euclid ( , )u A .
Ta có là một nhóm con rời rạc của E m( ) (đẳng cấu với Z) và
m e
và tác động tự do trên V1 như một nhóm của phép biến đổi. Theo mệnh đề mà đưa vào trong ví dụ này cho thấy rằng định lý 1 vẫn đúng trong trường hợp không compact.
3.3.2. Mệnh đề Cho E m( ) là nhóm con rời rạc thì chứa một nhóm
con chuẩn tắc giao hoán cấp hữu hạn chứa tất cả các phép biến đổi trong .
Cho một nhóm con giao hoán E m( ). Khi đó có một không gian con
m
V sao cho phân tích thành
1 2
với 2 hữu hạn và tác động tầm thường trên V và 1 là một nhóm giao hoán tự do tác động tự do như một
nhóm của các phép biến đổi trên V.
3.3.3. Mệnh đề Với mỗi m chỉ có hữu hạn các nhóm tinh thể học dạng (6). Chỉ có hữu hạn các lớp vi phôi của đa tạp Riemann phẳng compact m
chiều.
Ta chứng minh định lý 3.2.1 và mệnh đề 3.3.2 và mệnh đề 3.3.3.
phân tích thành tích nửa trực tiếp E m m.O m .
Ta có E m GL m( 1, ) với u A, được đại diện như ma trận
0 1
A u
Chuẩn mêtric Eclid trên 2
n
với mêtric hạn chế trên GL n( , ) được xác định
bởi 2
Tr '
||C|| (CC) và được gọi là tiêu chuẩn Hilbert-Schmidt.
Với a 0, ta đặt a là nhóm con sinh bởi các phần tử u A, sao cho
||A I || a. Theo tính chất của tiêu chuẩn Hilbert-Schmidt của các ma trận
, A B và m u ta có: 1. ||A||m với A O m ; 2. ||AB A||. ||B|| và ||Au A||. || ||u ; 3. ||AB|| || B|| với A O m .
Để chứng minh định lý 3.3.1 ta chứng minh rằng với mọi a0, a là
nhóm con chuẩn tắc bậc hữu hạn trong và nếu a đủ nhỏ ( 1
2
a ) thì a giao hoán và a được chứa trong m
.
3.3.4. Bổ đề a lànhóm con chuẩn tắc bậc hữu hạn.
Chứng minh. Tính chuẩn tắc được suy ra từ 1
||UAU I|| ||A I || với
UO m . Vì O m compact nên với mỗi a 0 có N sao cho với mỗi tập
1,...,
{A AN} có các chỉ số i j, sao cho ||Ai Aj ||a. Cho a0, đặt
1, 1 ,...
{(u A) , ( ,u An n)} là tập con lớn nhất thỏa ||AiAj||a với mọi 1i j, n. Vì (v B, ),||AiB||a với i thuộc giả thiết lớn nhất. Ta có
1 1 1
(u Ai, i) ( v B, ) (v A u A Bi i, i ) và 1
||A B Ii || || AiB||a chứng tỏ
(u Ai, i) a (v B, )a nghĩa là a có cấp hữu hạn.
a
giao hoán với a 0 nhỏ tùy ý được chứng minh trong các bước tiếp theo.
3.3.5. Bổ đề Cho A B, O m và ||BI|| 2 . Nếu A và 1
BAB (hoặc 1 1
BA B ) giao hoán thì AB.
Chứng minh. Xét sự phân tích của phức hóa Cm V1 ··· Vr vào không gian riêng tương ứng với giá trị riêng của A. Các không gian con Vj là trực giao.
Vì A và BAB1 giao hoán nên các không gian con Vj bất biến qua BAB1
và do đó 1 1
j j
AB V B V nghĩa là 1
( j)
B V bất biến qua A. Vì vậy
1 1 ( )j i( ( )j i) B V B V V . Nếu 1 ( ) B v trực giao với v, 0 v m, thì ta có 1 ||B I|| ||B I || 2 trái với ||BI|| 2 . Do đó 1 j j j B V V B V với mọi j
nên A và B giao hoán. Trong trường hợp A và BA B1 1 giao hoán thì chứng minh tương tự.
3.3.6. Bổ đề Cho u A, , (v B, ) trong 1. Nếu ABBA thì .
Chứng minh. Cho 1 1 1 và định nghĩa quy nạp 1 1 1 1 n n n . Dễ dàng tính toán rằng 1 c I, và 1 (( )n , ) n A I w I với w(IA u) (IB v) .Ta có
|| (IA w)n || || I A n w|| || ||0 khi n và bởi tính rời rạc của nên ,(0 )
n I
với mọi nN nghĩa là 1
) 0
(IA N w . Đặt m 1 2
V V
với V1 là không gian riêng tương ứng với giá trị riêng 1 và V2 là phần trực giao của V1. Vì I A là song ánh trên V2 và 1
(I A )N ( )w 0 nên 2 (0,I). Ta lại có 1 1 2 1 1
và vì 1
trực giao với nên trực giao với 1 1
. Theo bổ đề 3.2.5 thì và trực giao. 3.3.7. Bổ đề Cho ( , )u A 1/2 và ( , )v B 2. Khi đóAB BA . Chứng minh.Cho 1 1 và định nghĩa quy nạp 1 1 1 n n n . Đặt n(w Cn, n). Khi đó 1 1 1 n n n C C AC và 1 1 1 1 1 ( )( ) ( ) n n n n n w I C AC w C u . (14)
Do đó 1 || || || || 1 || | 1 | n n w u a w u a với 1 2 a . Vì vậy dãy { }wn m bị chặn và do đó { }n có một dãy con hội tụ. Trừ phi A C n với mọi n đủ lớn, ta có
||A C n1|| ||ACnC An ||
|| (A C n)(A I ) (A I A C)( n) ||
2||IA|| ||. A C n||.
Suy ra Cn A khi n vì 2||IA||1 và do tính rời rạc nên
n
A C với mọi
n đủ lớn. Đặc biệt A giao hoán với 1 1 1 n n n C C AC và vì ||CjI|| 2 với mọi j, 1 n
C giao hoán với A do bổ đề 3.2.5. Tiếp tục quy nạp ta có 1 1
C BAB giao hoán với A và do đó A và B giao hoán.
Từ bổ đề 3.2.6 và 3.2.7 tasuy ra
3.3.8. Hệ quả 1/2 giao hoán.
Ta thấy rằng nếu \ m compact và giao hoán thì hiển nhiên là một mạng
trong nhóm con chuẩn tắc m
E m
.
3.3.9. Bổ đề Cho E m là một nhóm giao hoán và u A, . Khi đó có
,v I E m sao cho Au'u' với (u A', ) ( v I u A v I, )( , )( , ).
Chứng minh. Xét sự phân tích tổng trực tiếp trực giao m 1 2
V V
với V1
là không gian riêng ứng với giá trị riêng 1 của A và V2 không gian trực giao của V1. Ta có V2 Im A I( ) và u' u (A I v ) .
Cho là nhóm con giao hoán rời rạc của E m (không nhất thiết với nhóm thương compact). Ta đặt u A, là giá trị riêng 1 có có vô số cực tiểu. Nếu 1 không là một giá trị riêng của A thì theo bổ đề 3.2.8 ta có thể giả sử
0.
u Do đó nếu (v B, ) thì do tính giao hoán của ta có v0 vàAB BA . Do đó O m và nó là nhóm hữu hạn do tính rời rạc.
3.3.10. Bổ đề Cho E m là nhóm giao hoán rời rạc có bậc vô hạn. Khi đó
( , )min
u A(vô số giá trị riêng 1 của A) ≥ 1.
Chứng minh: Cho ( m A) là không gian riêng ứng với giá trị riêng 1 và
E m
là nhóm giao hoán rời rạc có bậc vô hạn. Chọn u A, sao cho ( m A) 1
dim k là nhỏ nhất. Ta viết u A, như một ma trận cấp m 1 m 1, sau đó có thể thay thế bởi một nhóm con liên hợp trong E m .
Ta có 1 1 0 , 0 0 0 0 1 k I u u A A
với Ik là ma trận đơn vị cấp k k , u1 là vectơ cột trong k
và A1 là ma trận trực giao cấp (m k ) ( m k ) với tất cả các giá trị riêng khác 1.
Ta có 2 1 1 2 0 ( , ) 0 0 0 1 B v v B B v
Do giao hoán nên v2 0. Do đó ta có sự phân tích tổng trực tiếp trực giao m V1V2 trong đó 1 k
V và V2 m k với V1 bất biến qua .
* Chứng minh mệnh đề 3.3.2 Theo bổ đề 3.2.4 và hệ quả 3.2.2 ta chứng minh mệnh đề trong trương hợp đặt biệt với giao hoán. Ta xuất phát
bởi phương pháp quy nạp trên m. Cho 1 k
V như trong bổ đề 4.4.15 thì V1 bất biến qua và ta có đồng cấu : ' E k bởi sự hạn chế trên V1. Hạt nhân của là nhóm con rời rạc của O m( k) và do dó nó hữu hạn. Nếu dim
1
V m thì ta áp dụng giả thuyết quy nạp V1 để thu được sự phân tích ' 1' '2
như phát biểu trong mênh đề. Ta thu được dãy khớp '
1
0 0 với hữu hạn vì Ker hữu hạn. Dãy này chẻ bởi vì ' là nhóm giao hoán tự do và
do đó ' . Khi đó dim V1m. Nếu 1 m
V thì là một nhóm các phép
biến đổi.
3.3.11. Mệnh đề Một nhóm con rời rạc giao hoán của E m có nhóm thương compact là nhóm các phép biến đổi giao hoán tự do sinh bởi một cơ sở của m.
* Chứng minh định lí 3.2.1 – Do tính cực đại của nhóm con chuẩn tắc giao hoán L của định lí 3.2.1 đúng. Ta chứng minh phần đảo. Cho
1,..., m
f f là một cơ sở của nhóm giao hoán tự do L và với ta xác định ma trận A Ajk bởi 1 1 j m jk k k f A f
Vì L lớn nhất nên ánh xạ A là một phép nhúng của /L vào
) , (
GL m ,và được xem như một nhóm con của m. ( , )
GL m (tích nửa trực tiếp). Vì /L hữu hạn nên ta có thể giả sử ảnh của nó nằm trong O m (điều phải chứng minh).
Ta có thể xem nhóm cơ bản của một đa tạp phẳng compact m chiều như một nhóm con của m.GL m( , ).
3.3.12. Bổ đề GL m( , ) chỉ chứa một số hữu hạn lớp liên hợp của các nhóm con hữu hạn.
Chứng minh. Cho 3:GL m( , )GL m( , / 3) kí hiệu là ánh xạ rút gọn theo mod 3 và ' 3 là hạt nhân của nó. Với mỗi nhóm con hữu hạn G' GL m( , )
đặt G3( )'G và 1 3 ( ' G) . Xét dãy khớp 1 ' 3 ' G 1 .
đồng cấu chẻ G ' và do đó ' ' 3 . G (tích nửa trực tiếp).
Suy ra các nhóm con của GL m( , ) mà ánh xạ tự đẳng cấu vào G qua 3
có dạng là lớp liên hợp trong '. Tính hữu hạn của bổ đề được suy ra từ tính hữu hạn của GL m , / 3.
3.3.13. Mệnh đề Cho p3 là số nguyên tố và
: ( , ) ( , / )
p
R GL n GL n p là ánh xạ rút gọn modulo p. Khi đó Ker R( p) không xoắn và mỗi nhóm con hữu hạn của GL n( , ) là đơn ánh vào GL n( , / )p .
Chứng minh.
Cho GL n( , ) là một phần tử xoắn sao cho 'I và giả sửKer R( p). Nếu l1 thì ta có thể giả sử l nguyên tố. Đặt T' I thì T' p TTr ' với pr 1 sao cho lũy thừa cao nhất của p chia hết cho các dòng của ma trận T'. Vì thế
2 2 0 ' ... (7) 2 r l r I lp T p T Vì l là số nguyên tố, (7) suy ra l p và r1. Do đó gG Giả thuyết p3 ta có 2 p p
mà theo (8), mâu thuẫn với giải thuyết mỗi
dòng của T không được chia hết bởi p. Vì vậy I.
Sau đây ta chỉ ra một số ví dụ đặc biệt về sự liên hệ giữa các định lý của không gian phủ và nhóm cơ bản của các đa tạp Riemann phẳng compact.
Theo nhóm tinh thể ta có một nhóm con rời rạc E m( ) với không gian thương compact \ m. Chú ý trong định lý trên ta không yêu cầ không gian quỹ đạo \ m là một đa tạp. Vì GE m( ) m. ( )O m , trong trường hợp
\ m
M là một đa tạp, mêtric Euclid tiêu chuẩn trên m
là bất biến qua và
cảm sinh một phẳng Rieman mêtric trên M . Một nhóm con rời rạc E m( ) là đóng và thật dễ dàng kiểm tra rằng một nhóm con E m( ) tác động gián đoạn trên m
nếu và chỉ nếu nó rời rạc nghĩa là có một lân cận U của eE m( ) sao
cho các tập ( )U và U rời nhau ngoại trừ một số hữu hạn. Vấn đề đầu tiên ta cần nói đến là khi một nhóm con rời rạc E m( ) m. ( )O m xác định một phép chiếu phủ p: m \ m nghĩa là khi tác động gián đoạn thật sự. Nếu sự tác
động của mỗi e trên mE m O m( ) / ( ) là tự do từ các điểm cố định (nghĩa là tác động tự do) thì M là một đa tạp và : m M là một phép chiếu phủ. Ngược lại, nếu e có một điểm cố định trong m
thì p: m \ m không là một phép chiếu phủ.
3.3.14 Bổ đề Cho E m( ) là nhóm con rời rạc thì \ m \ E( ) / O( )
M m m là một đa tạp và ánh xạ chính tắc p: mM là một phủ phổ dụng nếu và chỉ nếu không xoắn.
Chứng minh. Nếu xoắn thì điểm j( )
j
x
cố định bởi với m x .
Ngược lại giả sử m
x cố định bởi . Cho x là phép biến đổi bởi x thì ( )
xO m x
.
Vì đóng nên xO m( )x chứa các phần tử xoắn trừ khi xO m( )x e
3.3.15. Ví dụ Cho một lưới mE( )m tác động trái lên m
bởi phép tịnh tiến, không gian thương m
L vòng xuyến m chiều là một đa tạp compact. Trong ví dụ này, ta xây dựng một nhóm con rời rạc không giao hoán
( )
E m
sao cho không gian thương \ m là đa tạp compact và ánh xạ chính
tắc : m M \ m là phép chiếu phủ. Lấy e1,...,em là cơ sở chuẩn của m
và A là ma trận chuyển vị ei đến ei1 và em đến ei. Khi đó m
A I. Cho m
L là lưới của vectơ với tọa độ nguyên. Cho là nhóm con của E m( ) sinh bởi sự
chuyển động Euclid của dạng ( , )e Aj . Do đó G /m trong kí hiệu của định lý