3 Không gian Euclide
3.1 Tích vô hướng và không gian có tích vô hướng
Định nghĩa 5.32. Cho V là một không gian vectơ, một tích vô hướng trênV là một ánh xạ<., .>: V×V →R thoả mãn các tiên đề sau:
TVH1: <u,v >xác định với mọiu,v ∈V TVH2: <u,v >=<v,u >
TVH3: <u+v,w>=<u,w>+<v,w>
TVH4: <ku,v >=k <u,v >
TVH5: <u,u >≥0,<u,u>=0khi và chỉ khiu=0.
Nhận xét: Tích vô hướng là một dạng song tuyến tính, đối xứng, và dạng toàn phương sinh bởi nó xác định dương.
Định nghĩa 5.33 (Độ dài của vectơ). ChoV là một không gian có tích vô hướng. Khi đó độ dài (haychuẩn) của vectơα∈ V là số thực không âmkαk=√<
α,α >.
Định nghĩa 5.34 (Khoảng cách). Cho V là một không gian có tích vô hướng. Khi đó khoảng cách giữa hai vectơ uvàv là số thực không âmd(u,v) =ku−vk.
Định nghĩa 5.35 (Sự vuông góc). Hai vectơ u và v được gọi là vuông góc haytrực giao với nhau và được kí hiệu là u⊥vnếu
<u,v >=0
Định nghĩa 5.36 (Họ vectơ trực giao, trực chuẩn).
a) Hệ vectơ (e1,e2, . . . ,ek) của không gian vectơ Euclide E được gọi là một hệ trực giao nếu các vectơ của hệ đôi một vuông góc với nhau, tức là
<ei,ej>=0nếui6=j
b) Hệ vectơ(e1,e2, . . . ,ek)của không gian vectơ EuclideEđược gọi là một hệtrực chuẩn nếu nó là một hệ trực giao và mỗi vectơ của hệ đều có độ dài bằng 1, tức là
<ei,ej >=δij= 0nếui 6= j 1nếui =j
3. Không gian Euclide 79
Mệnh đề 1.
(i) Mỗi hệ trực giao không chứa vectơ0đều độc lập tuyến tính.
(ii) Nếu hệ vectơ(e1,e2, . . . ,ek) là trực giao và không chứa vectơ0thì hệ vectơ
e1 ke1k, e2 ke2k, . . . , ek kekk là một hệ trực chuẩn.