§5. BÀI TOÁN ĐỔI CƠ SỞ
5.1 Đặt vấn đề
Trong không gian véctơ nchiềuV giả sử có hai cơ sở
B = (e1,e2, . . . ,en) vàB0 = e01,e20, . . . ,e0n
Kí hiệu[v]B = [v1,v2, . . . ,vn]t là toạ độ cột của véctơv ∈ Vtrong cơ sởB. Hãy tìm mối liên hệ giữa[v]B và [v]B0
5.2 Ma trận chuyển
Định nghĩa 3.18. Nếu tồn tại ma trận Pthoả mãn
[v]B =P[v]B0 với mỗi v∈ V thì ma trận Pđược gọi là ma trận chuyển cơ sở từB sangB0.
Lemma 3.2. Với mỗi cặp cơ sở B và B0 của V thì ma trận chuyển cơ sở từ B sang B0 tồn tại duy nhất và được xác định theo công thức
P =[e10]B[e02]B. . .[e0n]B
Định lý 3.13. Nếu Plà ma trận chuyển cơ sở từ cơ sởB sang cơ sởB0thì (a) P khả đảo (tức làP không suy biến,detP6=0)
(b) P−1là ma trận chuyển cơ sở từ B0 sang cơ sởB
5.3 Bài tập
Bài tập 3.15. TrongP3[x]cho các véc tơv1 =1,v2=1+x,v3= x+x2,v4 =x2+x3. a) Chứng minhB ={v1,v2,v3,v4} là một cơ sở của P3[x].
b) Tìm toạ độ của véc tơv=2+3x−x2+2x3đối với cơ sở trên. c) Tìm toạ độ của véc tơv=a0+a1x+a2x2+a3x3đối với cơ sở trên.
Bài tập 3.16. Cho KGVT P3[x] với cơ sở chính tắc E = 1,x,x2,x3 và cở sở khác B =
{1,a+x,(a+x)2,(a+x)3}. Tìm ma trận chuyển cơ sở từ Esang Bvà ngược lại từ B sang
CHƯƠNG 4
ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH