1.1 Khái niệm
Định nghĩa 4.19. Ánh xạ T : V →W từ không gian véctơ V tới không gian véctơW được gọi là ánh xạ tuyến tính nếu
(i) T(u+v) = T(u) +T(v),∀u,v∈ V
(ii) T(ku) =kT(u),∀k ∈ R,u ∈ V
Một số tính chất ban đầu của ánh xạ tuyến tính:
Định lý 4.14. ChoT : V →W là ánh xạ tuyến tính từ không gian véctơV tới không gian véctơW. Khi đó
a) T(0) =0.
b) T(−v) = −T(v),∀v∈ V.
c) T(u−v) = T(u)−T(v),∀u,v∈ V.
1.2 Bài tập
Bài tập 4.1. Cho V là KGVT, V∗ = Hom(V,R) = {f : V → R, f là ánh xạ tuyến tính}. Giả sửV có cơ sở{e1,e2, ...,en}. Xét tập hợp{f1, f2, ...,fn}trong đó fi(ej) =
1nếui =j
0 nếui 6= j .
60 Chương 4. Ánh xạ tuyến tính Lời giải. Muốn chứng minh{f1, f2, ...,fn} là một cơ sở củaV∗, ta sẽ chứng minh nó là một hệ sinh củaV∗ và độc lập tuyến tính.
1. Chứng minh{f1, f2, ..., fn}là một hệ véctơ độc lập tuyến tính. Giả sử có ràng buộc tuyến tính
λ1f1+λ2f2+. . .+λnfn =0 (1)
Tác động hai vế lên véctơe1ta được
λ1f1(e1) +λ2f2(e1) +. . .+λnfn(e1) = 0 (2)
Theo định nghĩa thì f1(e1) = 1, f2(e1) = 0, . . . ,fn(e1) = 0 nên từ (2) suy ra λ1 = 0. Tương tự như vậy, nếu tác động hai vế của(1)lêne2ta được λ2 =0, . . ., tác động hai vế của(1) lênen ta được λn =0. Vậyλ1 =λ2 = . . . =λn =0, hệ véctơ đã cho độc lập tuyến tính.
2. Chứng minh{f1, f2, ..., fn}là hệ sinh của V∗.
Giả sử f ∈ V∗, khi đó f(e1), f(e2), . . . , f(en)là các số thực xác định. Ta sẽ chứng minh
f = f(e1)f1+ f(e2)f2+. . .+ f(en)fn
Thật vậy, với mỗix ∈ V,x=λ1e1+λ2e2+. . .+λnen thì
f(x) =λ1f(e1) +λ2f(e2) +. . .+λnf(en) Mặt khác [f(e1)f1+ f(e2)f2+. . .+ f(en)fn] (x) = [f(e1)f1+ f(e2)f2+. . .+ f(en)fn] (λ1e1+λ2e2+. . .+λnen) = n ∑ i,j=1 λif(ej)fj(ei) = n ∑ i=j=1 λif(ei) =f(x)