Vớ dụ 2.10. Xõy dựng cụng thức truy hồi tớnh hệ số tổ hợp k n C
Giải: Ta lấy một phần tử, chẳng hạn a trong n phần tử, và chia cỏch lấy cỏc
tập con gồm k phần tử của tập gồm n phần tử thành 2 lớp: lớp gồm cỏc tập con k phần tử trong đú cú a và lớp gồm cỏc tập con k phần tử trong đú khụng cú a. Với lớp gồm cỏc tập con k phần tử trong đú cú a, thỡ vỡ đó cú a nờn ta
phải lấy thờm k-1 phần tử từ n-1 phần tử cũn lại, do đú lớp này sẽ cú 1 1 k n C
cỏch. Với lớp gồm cỏc tập con k phần tử trong đú khụng cú a, thỡ vỡ khụng cú a nờn ta phải lấy k phần tử từ n-1 phần tử , do đú lớp này sẽ cú k
n C 1 cỏch. Từ đú ta được cụng thức: k n k n k n C C C 11 1
Với cỏc giỏ trị biờn được suy trực tiếp từ định nghĩa là 0 n 1
n n C
C .
Đú là một cụng thức truy hồi cho phộp lần lượt xỏc định cỏc hệ số tổ hợp Cnk (k 0,n)
Vớ dụ 2.11. Trong một quần thể sinh vật, số lượng vi trựng tăng gấp đụi sau
mỗi giờ. Hỏi sau n giờ số lượng chỳng là bao nhiờu, nếu ban đầu cú 5 cỏ thể vi trựng?
Giải: Ta giả sử số vi trựng sau n giờ là an. Vỡ số vi trựng tăng gấp đụi sau mỗi giờ nờn ta cú an = 2an-1, với mọi n nguyờn dương và a0 = 5. Từ đú ta dễ dàng xỏc định được an, n=1, 2, 3, .... a1 = 2a0 = 10 a2 = 2a1 = 20 a3 = 2a2 = 40 a4 = 2a3 = 80 a5 = 2a4 = 160 ...
Vớ dụ 2.12. Trờn mặt phẳng, kẻ n đường thẳng sao cho khụng cú hai đường
thẳng nào song song và 3 đường thẳng nào đồng qui. Hỏi mặt phẳng được chia làm bao nhiờu phần
Giải: Gọi số phần mặt phẳng được chia bởi n đường thẳng là Sn. Giả sử đó kẻ n-1 đường thẳng. Nếu kẻ thờm đường thẳng thứ n thỡ số phần mặt phẳng được thờm sẽ bằng số giao điểm được thờm cộng với 1. Số giao điểm được thờm là số giao điểm của đường thẳng thứ n cắt n-1 đường thẳng trước, nghĩa là bằng n-1. Từ đú ta cú cụng thức truy hồi
Sn = Sn-1 + n , n ≥1
S1 = 1 + 1 = 2 S2 = 2 + 2 = 4 S3 = 4 + 3 = 7 S4 = 7 + 4 = 11 S5 = 11 +15= 16 S6 = 16 + 6 = 22 S7 = 22 + 7 = 29 S8 = 29 + 8 = 37 S9 = 37 + 9 = 46 ...
Phương phỏp tỡm cụng thức trực tiếp từ cụng thức truy hồi được gọi là phương phỏp khử. Khụng phải lỳc nào cũng dễ dàng khử được cụng thức truy hồi để đưa được về cụng thức trực tiếp. Trong một số trường hợp đặc biệt, ta cú thể đưa ra phương phỏp để giải cụng thức truy hồi, tức là tỡm cụng thức trực tiếp cho số hạng tổng quỏt của dóy số thoả món cụng thức truy hồi đó cho.
2.4.2. Giải cụng thức truy hồi tuyến tớnh thuần nhất hệ số hằng Định nghĩa 2.1. Cụng thức truy hồi cú dạng: