an = c1an-1 + c2an-2 + ...+ ckan-k
trong đú c1, c2, ..., ck là cỏc số thực, ck 0, được gọi là cụng thức truy hồi tuyến tớnh thuần nhất bậc k với hệ số hằng số.
Cụng thức truy hồi trong định nghĩa là tuyến tớnh vỡ vế phải là tổng cỏc tớch của cỏc số hạng trước của dóy với một hệ số. Nú là thuần nhất vỡ mọi số hạng của nú đều cú dạng ciaj. Cỏc hệ số của cỏc số hạng của dóy đều là hằng số (thay vỡ là cỏc hàm phụ thuộc n). Bậc là k vỡ an được biểu diễn qua k số hạng trước của dóy.
được xỏc định duy nhất.
Vớ dụ 2.13. Cụng thức truy hồi an = 2an-1 là cụng thức truy hồi tuyến tớnh thuần nhất bậc 1. Cụng thức truy hồi Fn = Fn-1 + Fn-2 là cụng thức truy hồi tuyến tớnh thuần nhất bậc 2. Cụng thức truy hồi Hn = 3Hn-1 + 1 khụng là thuần nhất. Cụng thức truy hồi An = nAn-1 khụng cú hệ số hằng.
Phương phỏp cơ bản để giải cụng thức truy hồi tuyến tớnh thuần nhất là tỡm nghiệm dưới dạng an = rn, trong đú r là hằng số. Ta cú an = rn là nghiệm của cụng thức truy hồi an = c1an-1 + c2an-2 + ...+ ckan-kkhi và chỉ khi
rn = c1rn-1 + c2rn-2 + ... + ckrn-k
Hay rn – c1rn-1 – c2rn-2 - ... – ckrn-k = 0
Vậy, dóy { an} với an = rnlà nghiệm khi và chỉ khi r là nghiệm của phương trỡnh đại số trờn. Phương trỡnh này được gọi là phương trỡnh đặc trưng của cụng thức truy hồi và nghiệm của nú được gọi là nghiệm đặc trưng của cụng thức truy hồi. Cỏc nghiệm đặc trưng sẽ dựng cho cụng thức tường minh của tất cả cỏc nghiệm của cụng thức truy hồi.
Trước hết, ta trỡnh bày cỏc kết quả đối với cụng thức truy hồi tuyến tớnh thuần nhất bậc 2 và xột trường hợp khi phương trỡnh đặc trưng cú hai nghiệm phõn biệt.
Định lý 2.1. Cho c1, c2 là cỏc hằng số thực. Giả sử phương trỡnh r2
- c1r- c2 = 0 cú hai nghiệm phõn biệt r1, r2. Khi đú dóy số { an} là nghiệm của cụng thức truy hồi an = c1an-1 + c2an-2khi và chỉ khi
an = 1r1n + 2r2n (5) với n= 0, 1, 2,... ,trong đú 1, 2 là cỏc hằng số.
Chứng minh: Giả sử r1 và r2 là hai nghiệm phõn biệt của r2
- c1r- c2 = 0, tức là r 2 = c r + c và r 2 = c r + c . Ta thực hiện cỏc biến đổi sau:
c1an-1 + c2an-2 = c1(ỏ1r1n-1 + ỏ2r2n-1) + c2(ỏ1r1n-2 + ỏ2r2n-2) = ỏ1r1n-2(c1r1 + c2) + ỏ2r2n-2(c1r2 + c2) = ỏ1r1n-2r12 + ỏ2r2n-2r22
= ỏ1r1n + ỏ2r2n
=an
Điều đú chứng tỏ dóy số { an} với an = 1r1n + 2r2n là nghiệm của cụng thức truy hồi đó cho
Ngược lại, giả sử { an} là một nghiệm bất kỳ của cụng thức truy hồi, ta sẽ chọn 1 và 2 sao cho dóy { an} với an = ỏ1r1n + ỏ2r2n thoả món cỏc điều kiện đầu a0 = C0, a1 = C1. Thật vậy, đặt
a0 = C0 = 1 + 2
a1 = C1 = ỏ1r1 + ỏ2r2
Từ phương trỡnh đầu ta được 2 = C0 - 1. Thay vào phương trỡnh sau ta được C1 = ỏ1r1 + (C0 - 1)r2 = ỏ1(r1 – r2) + C0r2 Suy ra 2 1 2 0 1 1 r r r C C và 2 C0 1 C0 2 1 2 0 1 r r r C C = 2 1 1 1 0 r r C r C
Vậy khi chọn cỏc giỏ trị ỏ1 và ỏ2 này thỡ dóy { an} với an = ỏ1r1n + ỏ2r2n thoả món cỏc điều kiện đầu. Vỡ cụng thức truy hồi và cỏc điều kiện đầu xỏc định duy nhất, nờn an = ỏ1r1n + ỏ2r2n. Định lý được chứng minh.
a1 = 7
Giải: Phương trỡnh đặc trưng của cụng thức truy hồi này cú dạng r2 – r -2 = 0. Nghiệm của nú là r=2 và r=-1. Theo định lý 1 dóy { an} là nghiệm của cụng thức truy hồi khi và chỉ khi an = 12n + 2(-1)n với cỏc hằng số ỏ1 và ỏ2 nào đú. Từ cỏc điều kiện đầu ta suy ra:
a0 = 2 = 1 + 2
a1 = 7 = ỏ12 + ỏ2(-1)
Giải ra ta được 1 = 3 và 2 = -1. Vậy nghiệm của cụng thức truy hồi với điều kiện đầu là dóy { an} với an = 3.2n
- (-1)n
Vớ dụ 2.15 . Dóy Fibonaci được định nghĩa bằng hệ thức truy hồi: Fn = Fn-1 + Fn-2, n 2 và F0 = F1 = 1. Tỡm cụngthức hiện cho Fn.
Giải: Giải phương trỡnh đặc trưng r2
- r- 1 = 0 ta thu được hai nghiệm
2 5 1 1 r và 2 5 1 2 r và cụng thức hiện cú dạng Fn = 1r1n + 2r2n (*) trong đú 1, 2 là cỏc hằng số cần xỏc định từ cỏc giỏ trị ban đầu F0 và F1. Thay F0 và F1 vào (*) và giải ra ta được
5 1 1 và 5 1 2
Do đú cỏc số Fibonaci được cho bằng cụng thức hiện như sau
n n n F 2 5 1 2 5 1 5 1
Trong trường hợp phương trỡnh đặc trưng của cụng thức truy hồi tuyến tớnh thuần nhất bậc 2 cú nghiệm đặc trưng là nghiệm bội 2. Bằng cỏch chứng
Định lý 2.2. Cho c1, c2 là cỏc hằng số thực. Giả sử phương trỡnh r2
- c1r- c2 = 0 chỉ cú một nghiệm r0. Khi đú dóy số { an} là nghiệm của cụng thức truy hồi an = c1an-1 + c2an-2 khi và chỉ khi an = 1r0n + 2n r0n với n= 0, 1, 2,..trong đú 1, 2 là cỏc hằng số.
Vớ dụ 2.16. Tỡm nghiệm của hệ thức truy hồi an = 6an-1- 9an-2với cỏc điều kiện ban đầu a0= 1 và a1 =6.
Giải: Phương trỡnh đặc trưng r2- 6r+ 9 = 0 cú nghiệm kộp r = 3. Do đú nghiệm của hệ thức truy hồi cú dạng: an = 1 3n + 2n3n. Từ điều kiện đầu a0= 1 và a1 =6 suy ra 1 = 1 và 2 = 1. Do vậy nghiệm của hệ thức truy hồi và cỏc điều
kiện ban đầu đó cho là: an = 3n + n3n
Định lý dưới đõy là sự tổng quỏt húa kết quả của định lý 2.1 cho trường hợp hệ thức truy hồi tuyến tớnh thuần nhất hệ số hằng bậc k > 2
Định lý 2.3. Cho c1, c2 ,.., ck là cỏc hằng số thực. Giả sử phương trỡnh đặc trưng rk
- c1rk-1- c2rk-2-...- ck = 0
cú k nghiệm phõn biệt r1, r2,..., rk. Khi đú dóy số { an} là nghiệm của hệ thức truy hồi an = c1an-1 + c2an-2+...+ ckan-k khi và chỉ khi
an = 1r1n + 2r2n+...+ krkn
với n= 0, 1, 2,... trong đú 1, 2 ,.., k là cỏc hằng số.
Vớ dụ 2.17. Tỡm nghiệm của hệ thức an = 6an-1- 11an-2 + 6an-3với điều kiện đầu a0 = 2, a1 = 5, a2 = 15.
Giải: Phương trỡnh đặc trưng r3
- 6r2 + 11r- 6 = 0 cú 3 ngiệm r1 = 1, r2 = 2, r3= 3. Vỡ vậy, nghiệm cú dạng
an = 11n + 22n+33n.
Sử dụng cỏc điều kiện đầu ta cú 1=1, 2 =-1, 3 = 2. Vậy nghiệm của hệ thức đó cho là a n+2.3n