HERMITIAN
1.1 Các định lý cơ bản
Định nghĩa 5.1. Cho A,B là các ma trận Hermitian. Ta viết A > B (tương ứng A ≥ B) nếu A−Blà ma trận xác định dương (tương ứng xác định không âm).
Định lý 5.2. Nếu A>B >0thìA−1<B−1. Định lý 5.3. Nếu A>0thì A+A−1 ≥2I. Định lý 5.4. Nếu Alà ma trận thực và A >0thì (A−1x,x) = max y (2(x,y)−(Ay,y)). Định lý 5.5. Cho A= A1 B B∗ A2 !
>0. Khi đódetA≤detA1detA2.
Hệ quả 5.6 (Bất đẳng thức Hadamard). Nếu A = (aij) là ma trận xác định dương, thì
detA≤a11a22. . .ann và dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi Alà ma trận đường chéo.
Hệ quả 5.7. Nếu Xlà một ma trận bất kì, thì
|detX| ≤ ∑
i
|x1i|2. . .|xni|2.
60 Chương 5. Các bất đẳng thức ma trận
Định lý 5.8. Cho A = A1 B B∗ A2
!
>0 là ma trận xác định dương, ở đó B là một ma trận vuông. Khi đó|detB|2 ≤detA1detA2.
Định lý 5.9. Choαi >0,∑αi =1và Ai >0. Khi đó
|α1A1+. . .+αkAk| ≥ |A1|α1. . .|Ak|αk.
Định lý 5.10. Choλi là các số phức bất kì và Ai ≥0. Khi đó
|det(λ1A1+. . .+λkAk)| ≤det(|λ1|A1+. . .+|λk|Ak).
Định lý 5.11. Cho A và B là các ma trận thực xác định dương, và A1,B1 là các ma trận thu được từ ma trận A,B tương ứng bằng cách xóa đi các hàng đầu tiên và cột đầu tiên của nó. Khi đó |A+B| |A1+B1| ≥ |A| |A1| + |B| |B1| 1.2 Bài tập
Bài tập 5.1. Cho A và B là các ma trận vuông cấp n > 1, ở đó A > 0 và B ≥ 0. Chứng minh rằng|A+B| ≥ |A|+|B| và dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi B=0.
Bài tập 5.2. Cho A và B là các ma trận Hermitian và A > 0. Chứng minh rằng detA ≤ |det(A+iB)|và dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi B =0.
Bài tập 5.3. Cho Ak và Bk là các ma trận con cấpkở phía trên, góc trái của các ma trận xác định dương Avà B sao choA >B. Chứng minh rằng
|Ak| >|Bk|.
Bài tập 5.4. Cho A và B là các ma trận thực đối xứng và A ≥ 0. Chứng minh rằng nếu
C = A+iB là ma trận không khả nghịch, thì Cx = 0 với x là một véctơ thực khác 0 nào đó.
Bài tập 5.5. Cho Alà ma trận vuông cấpnvà A >0. Chứng minh rằng
|A|1/n =min 1
ntr(AB),
ở đó giá trị nhỏ nhất được lấy trên tất cả các ma trậnB xác định dương có định thức bằng
1.
Bài tập 5.6. Cho Alà ma trận thực đối xứng xác định dương. Chứng minh rằng
det 0 x1 . . . xn x1 ... xn A ≤0
2. Các bất đẳng thức cho trị riêng 61
§2. CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CHO TRỊ RIÊNG 2.1 Các bất đẳng thức cơ bản
Định lý 5.12 (Bất đẳng thức Schur). Cho λ1, . . . ,λn là các trị riêng của ma trận A = (aij)n 1. Khi đó n ∑ i=1 |λi|2 ≤ n ∑ i,j=1 |aij|2,
và dấu bằng xảy ra nếu và chỉ nếu Alà một ma trận chuẩn tắc.
Định lý 5.13. Cho λ1, . . . ,λn là các trị riêng của ma trận A = B+iC, ở đó B và C là các ma trận Hermitian. Khi đó n ∑ i=1 |Reλi|2≤ n ∑ i,j=1 |bij|2 và ∑n i=1 |Imλi|2 ≤ n ∑ i,j=1 |cij|2.
Định lý 5.14 (H. Weyl). Cho A và B là các ma trận Hermitian, C = A+B. Cho các trị riêng của các ma trận trên được xếp theo thứ tự tăng dần lần lượt là α1 ≤ . . . ≤ αn,
β1 ≤. . .≤ βn,γ1≤. . . ≤γn. Khi đó a) γi ≥αj+βi−j+1vớii ≥j, b) γi ≤αj+βi−j+n vớii ≤j. Định lý 5.15. Cho A = B C C∗ D !
là một ma trận Hermitian. Giả sử các trị riêng của A
và Bđược xếp theo thứ tự tăng dần sau:α1 ≤. . .≤αn,β1 ≤. . .≤ βm. Khi đó
αi≤ βj ≤αi+n−m.
Định lý 5.16. Cho A và B là các phép chiếu Hermitian, nghĩa là A2 = A và B2 = B. Khi đó các trị riêng của ABlà thực và nằm trong khoảng [0, 1].
Định nghĩa 5.17. Các giá trịσi =√
µi, ở đó µi là các trị riêng của ma trận A∗A, được gọi là các giá trị kì dị của ma trận A.
Chú ý 5.18. Nếu Alà một ma trận Hermitian xác định không âm thì các giá trị kì dị của
A và các trị riêng của A là trùng nhau. Nếu A = SU là phân tích trong tọa độ cực của
A, thì các giá trị kì dị của A trùng với các trị riêng của ma trận S. Với ma trận S, tồn tại một ma trận unita V sao cho S = VΛV∗, ở đó Λ là ma trận đường chéo. Do đó, mọi ma trận A có thể được biểu diễn dưới dạng A = VΛW, ở đóV và W là các ma trận unita và
62 Chương 5. Các bất đẳng thức ma trận
Định lý 5.19. Choσ1, . . . ,σn là các giá trị kì dị của ma trận A, ở đó σ1 ≥ . . . ≥σn, và đặt
λ1, . . . ,λn là các trị riêng của ma trận A, với|λ1| ≥ . . . ≥ |λn|. Khi đó
|λ1. . .λm| ≤ σ1. . .σm vớim≤n.
Định lý 5.20. Choσ1 ≥ . . . ≥ σn là các giá trị kì dị của ma trận Avà đặtτ1 ≥. . . ≥ τn là các giá trị kì dị của ma trậnB. Khi đó
|tr(AB)| ≤ n ∑ i=1 σiτi. 2.2 Bài tập
Bài tập 5.7 (Gershgorin discs). Chứng minh rằng mọi trị riêng của ma trận(aij)n
1 nằm trong một trong các đĩa sau |akk−z| ≤ρk, ở đóρk = ∑
i6=j|akj|.
Bài tập 5.8. Chứng minh rằng nếuU là một ma trận unita vàS ≥0, thì|tr(US)| ≤trS.
Bài tập 5.9. Chứng minh rằng nếu Avà Blà các ma trận xác định không âm, thì
|tr(AB)| ≤ trA. trB.
Bài tập 5.10. Cho Avà Blà các ma trận Hermitian. Chứng minh rằng
tr(AB)2 ≤tr(A2B2).
Bài tập 5.11 (Cullen, 1965). Chứng minh rằng lim
k→∞Ak =0nếu và chỉ nếu một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:
a) giá trị tuyệt đối của các trị riêng của Anhỏ hơn1;
b) tồn tại một ma trận xác định dương Hsao cho H−A∗H A>0.
Giá trị kì dị
Bài tập 5.12. Chứng minh rằng nếu tất cả các giá trị kì dị của ma trận Alà bằng nhau, thì A=λU, ở đóUlà một ma trân unita.
Bài tập 5.13. Chứng minh rằng nếu các giá trị kì dị của ma trận A bằng σ1, . . . ,σn, thì các giá trị kì dị của ma trậnadjAbằng Πi6=1σi, . . . ,Πi6=nσi.
Bài tập 5.14. Cho σ1, . . . ,σn là các giá trị kì dị của ma trận A. Chứng minh rằng các trị riêng của ma trận 0 A
A∗ 0
!
CHƯƠNG 6
ĐA THỨC