Bài tập 4.13. Cho J là một ma trận khả nghịch. Ma trận A được gọi là J- trực giao nếu
ATJ A = J và J-phản xứng nếu ATJ = −J A. Chứng minh rằng phép biến đổi Cayley biến một ma trận J- trực giao thành một ma trận J- phản xứng và ngược lại.
Bài tập 4.14 (Djokovíc, 1971). Giả sử tất cả các giá trị tuyệt đối của các trị riêng của ma trận Abằng 1và |Ax| ≤ |x|với mọi x. Chứng minh rằng Alà một toán tử unita.
Bài tập 4.15 (Zassenhaus, 1961). Một toán tử unita U biến véctơ khác không x thành véctơUx trực giao với x. Chứng minh rằng mọi cung của vòng tròn đơn vị chứa tất cả các trị riêng củaU có độ dài không nhỏ hơnπ.
50 Chương 4. Các ma trận có dạng đặc biệt
§4. MA TRẬN CHUẨN TẮC 4.1 Các định nghĩa và tính chất
Toán tử tuyến tính A trênCđược gọi là chuẩn tắc, nếu A∗A = AA∗. Ma trận của một toán tử chuẩn tắc trong một cơ sở trực chuẩn được gọi là ma trận chuẩn tắc. Hiển nhiên nếu Alà ma trận chuẩn tắc thì A∗A= AA∗.
Định lý 4.18. Các điều kiện sau là tương đương: 1. Alà ma trận chuẩn tắc,
2. A= B+iC, ở đóB,C là các ma trận Hermitian giao hoán,
3. A=UΛU∗, ở đóU là ma trận unita vàΛlà ma trận đường chéo. 4. ∑n
i=1|λ2i| = ∑n
i,j=1|a2ij|, ở đó λ1, . . . ,λn là các trị riêng của A.
Định lý 4.19. Nếu Alà một ma trận chuẩn tắc, thìKerA∗ =KerAvàImA∗ =ImA.
Hệ quả 4.20. Nếu Alà một ma trận chuẩn tắc, thì
V =KerA+⊕(KerA)⊥ =KerA⊕ImA
Định lý 4.21. Ma trận Alà chuẩn tắc nếu và chỉ nếu mọi véctơ riêng của Acũng là véctơ riêng của A∗.
Định lý 4.22. Nếu ma trận A là chuẩn tắc, thì A∗ có thể biểu diễn dưới dạng như là một đa thức của A.
Hệ quả 4.23. Nếu A và B là các ma trận chuẩn tắc và AB = BA thì A∗B = BA∗ và
AB∗ = B∗A, nói riêng ABcũng là một ma trận chuẩn tắc.
4.2 Bài tập
Bài tập 4.16. Cho A là một ma trận chuẩn tắc. Chứng ming rằng tồn tại ma trận chuẩn tắcB sao choA =B2.
Bài tập 4.17. ChoAvàBlà các toán tử chuẩn tắc sao choImA ⊥ImB. Chứng minh rằng
A+Blà một toán tử chuẩn tắc.
Bài tập 4.18. Chứng minh rằng ma trận Alà chuẩn tắc nếu và chỉ nếu A∗ = AU, ở đóU
4. Ma trận chuẩn tắc 51
Bài tập 4.19. Chứng minh rằng nếu A là một toán tử chuẩn tắc và A =SU là biểu diễn trong tọa độ cực của nó thìSU =US.
Bài tập 4.20. Cho A,B và AB là các ma trận chuẩn tắc. Chứng minh rằng BA cũng là một ma trận chuẩn tắc.
52 Chương 4. Các ma trận có dạng đặc biệt
§5. MA TRẬN LUỸ LINH 5.1 Các định nghĩa và tính chất
Định nghĩa 4.24. Ma trận Avuông cấpnđược gọi là luỹ linh nếu tồn tại số nguyênksao cho Ak =0.Nếu có thêm Ak−1 6=0thìkđược gọi là bậc lũy linh của ma trận A.
Định lý 4.25. Bậc luỹ linh của một ma trận lũy linh bằng cấp cao nhất của các khối Jordan của nó.
Định lý 4.26. Cho Alà ma trận luỹ linh, vuông cấpn. Khi đó An =0.
Định lý 4.27. Đa thức đặc trưng của một ma trận vuông cấpnlũy linh bằngλn.
Định lý 4.28. Cho Alà một ma trận vuông cấpn. Chứng minh rằng Alũy linh khi và chỉ khitr(Ap) =0với mọi p=1, 2, . . . ,n.
Định lý 4.29. Cho A : V → V là một toán tử tuyến tính vàW là một không gian con bất biến củaV. Đặt A1 :W →W và A2 : V/W →V/W là các toán tử cảm sinh bởi toán tử A. Chứng minh rằng nếu A1 và A2 là lũy linh thì Acũng là lũy linh.
5.2 Bài tập
Bài tập 4.21. Alà ma trận lũy linh nếu và chỉ nếu tất cả giá trị riêng của Ađều bằng0.
Bài tập 4.22. Chứng minh rằng nếu A là ma trận lũy linh thì I −A là ma trận khả nghịch.
Chứng minh. Ta có
I = I−Ak = (I−A)(I+A+A2+. . .+Ak−1)
Bài tập 4.23. Chứng minh rằng với mọi ma trận vuôngAluôn có thể phân tích A=B+C
vớiClà một ma trận lũy linh vàB là ma trận chéo hóa được vàBC =CB.
Bài tập 4.24. Cho Avà Blà các ma trận vuông cùng cấp thỏa mãn Blà ma trận lũy linh và AB= BA. Chứng minh rằng det(A+B) =detA
Bài tập 4.25. Cho Avà Blà các ma trận vuông cùng cấp thỏa mãnA2008 = I;B2009 =0và
5. Ma trận luỹ linh 53
Bài tập 4.26. (2000) Cho A và B là các ma trận vuông cùng cấp thỏa mãn A1999 =
0;B2000 =0và AB=BA. Chứng minh rằng(A+B+I) khả nghịch.
Chứng minh. Nhận xét rằng(A+B)3999 =0nên(A+B) là ma trận luỹ linh, suy ra điều phải chứng minh.
Bài tập 4.27. Cho AvàBlà các ma trận vuông cùng cấp thỏa mãn A1999 = I;B2000 =I và
AB=BA. Chứng minh rằng(A+B+I) khả nghịch.
Chứng minh. Giả sử (A+B+I)suy biến. Khi đó tồn tại vectoX khác0sao cho(A+B+
I)X =0. Hay(A+I)X =−BX suy ra(A+I)1999X =−B1999X =−X, suy ra((A+I)1999+
I)X =0. Theo gỉa thiết(A2000−I)x=0.
Ta sẽ chứng minh hai đa thức (x+1)1999+1 và x2000−1 là nguyên tố cùng nhau. Thậy vậy, giả sử chúng có nghiệm chung là z. Khi đó(z+1)1999 =−1vàz2000 =1. Từ đó suy ra môđun củazvà (z+1)đều là1. Do đó,argz=±23π và
z2000 =cos ±4000π
3 +sin±4000π
3 =cos±4π
3 +sin±4π
3 6=1
Vậy tồn tại các đa thứcP(x) vàQ(x) để P(x)[(x+1)1999+1] +Q(x)(x2000−1) = 1
Từ đó suy ra [P(A)[(A+1)1999+1] +Q(A)(A2000−I)]X =X hayX =0, mâu thuẫn với việc chọnX. Vậy ta có điều phải chứng minh
Bài tập 4.28. (IMC) Cho hai ma trận vuông cấp n,A và B. Giả sử tồn tại (n+1) số
t1,t2, . . . ,tn phân biệt sao cho các ma trận Ci = A+tiB là các ma trận lỹ linh với mọi
i =1, ...,n+1. Chứng minh rằng Avà Bcũng là các ma trận lũy linh
Bài tập 4.29. Tìm các ma trận A,Bsao choλA+µBlà luỹ linh với mọiλ,µnhưng không tồn tại ma trận Psao choP−1APvà P−1BPlà các ma trận tam giác.
54 Chương 4. Các ma trận có dạng đặc biệt