§3. CƠ SỞ CỦA KHÔNG GIAN VÉCTƠ - ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH
3.1 Bài toán đổi cơ sở
Cho Alà ma trận của ánh xạ tuyến tính f : V →W trong cặp cơ sởe ={e1, . . . ,en} của
V và ǫ ={ǫ1, . . . ,ǫn} củaW. Giả sử e′ = ePvà ǫ′ =ǫQ là các cơ sở khác củaV vàW. Khi đó
A′ =Q−1AP
là ma trận của f trong cặp cơ sởe′ vàǫ′. Đặc biệt, nếuV =W và P= QthìA′ =P−1AP.
Định lý 2.23. Với mỗi toán tử tuyến tính A, đa thức đặc trưng
|λI−A| =λn+an−1λn−1+. . .+a0
không phụ thuộc vào cách chọn cơ sở của không gianV.
Định lý 2.24 (Green, 1973). . Cho x1, . . . ,xn và y1, . . . ,yn là hai cơ sở của không gian V,
1≤k ≤n. Khi đókvéctơ củay1, . . . ,yn có thể hoán đổi được với các véctơ x1, . . . ,xk sao cho chúng ta vẫn thu được 2 cơ sở khác của không gianV.
Định lý 2.25 (Aupetit, 1988). Cho T là một toán tử tuyến tính trên không gian V sao cho với mọi ξ ∈ V các véctơ ξ,Tξ, . . . ,Tnξ là độc lập tuyến tính. Khi đó các toán tử tuyến tính I,T, . . . ,Tn là độc lập tuyến tính.
3.2 Bài tập
Bài tập 2.4. Trong Vn cho các véctơ e1, . . . ,em. Chứng minh rằng nếu m ≥ n+2 thì tồn tại các sốα1, . . . ,αm không đồng thời bằng 0 sao cho∑αiei =0và∑αi =0.
Bài tập 2.5. Một tổ hợp tuyến tính lồi của các véctơv1, . . . ,vm là một véctơ bất kì
x=t1v1+. . .+tmvm,
ở đó ti ≥0và ∑ti =1. Chứng minh rằng trong một không gian véctơ thực nchiều, bất kì tổ hợp tuyến tính lồi của m véctơ cũng là một tổ hợp tuyến tính lồi của không nhiều hơn
n+1véctơ cho trước.
Bài tập 2.6. Chứng minh rằng nếu|aii| > ∑k6=i|aik| với mọi i = 1, . . . ,n thì A = (aij)1n là một ma trận khả nghịch.
26 Chương 2. Không gian véctơ - Ánh xạ tuyến tính
Bài tập 2.7. a) Cho các véctơe1, . . . ,en+1trong một không gian Euclidenchiều, sao cho (ei,ej) < 0nếu i 6= j, chứng minh rằng mọin véctơ rút ra từ hệ n+1véctơ trên đều là một cơ sở củaV.
b) Chứng minh rằng nếue1, . . . ,em là các véctơ trongRn sao cho(ei,ej) <0vớii 6= j thì