M P= ∂Q = 36 K− 13 L
3.2 CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN
Định nghĩa cực trị
Định nghĩa 3.2.1. • Hàmf(x, y)đạt cực đại tại(a, b)nếuf(a, b)≥f(x, y),∀(x, y) nằm trong đường tròn không biên có tâm (a, b) .
• Hàm f(x, y) đạt cực tiểu tại (a, b) nếuf(a, b)≤f(x, y),∀(x, y) nằm trong đường tròn không biên có tâm (a, b) .
Điểm cực đại, cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. 3.2.1 CỰC TRỊ KHÔNG CÓ ĐIỀU KIỆN RÀNG BUỘC
Phương pháp tìm cực trị hàm hai biến z =f(x, y) B1 Điều kiện cần Tìm các điểm dừng bằng cách giải hệ ( fx′ = 0 fy′ = 0 B2 Điều kiện đủ Giả sử fx′(I) = 0, fy′(I) = 0. Tìm a11 =fx′′2(I), a22=fy′′2(I), a12=fxy′′ (I). Đặt D(I) =a11.a22−a212 • Nếu D(I)>0, a11>0 thì I là cực tiểu. • Nếu D(I)>0, a11<0 thì I là cực đại.
• Nếu D(I)<0 thì I không phải là cực trị.
• Nếu D(I) = 0 thì chưa kết luận được gì. Ví dụ 3.2.1. Tìm các điểm cực trị của hàm số
z =x4+y4−4xy+ 1Lời giải: Lời giải:
Bước 1: Điều kiện cần
Ta có: fx′ = 4x3−4y, fy′ = 4y3−4x Giải hệ: ( 4x3−4y= 0 4y3−4x= 0 Ta có 3 điểm dừng: M1(0,0), M2(1,1), M3(−1,−1) Bước 2: Điều kiện đủ
Vậy M1(0,0) không là điểm cực trị.
+ VớiM2(1,1), D(M2) = 12.12−(−4)2 = 128>0, a11 = 1>0. Vậy M2(1,1) là điểm cực tiểu.
+ VớiM3(−1,−1), D(M2) = 12.12−(−4)2 = 128>0, a11 = 1>0. Vậy M3(−1,−1) là điểm cực tiểu.
Ví dụ 3.2.2. Giả sử một công ti sản xuất hai loại sản phẩm có sản lượng Q1, Q2
với mức giá lần lượt p1 = 160, p2 = 120 và hàm chi phí là T C(Q1, Q2) = 3Q21 + 2Q1Q2+ 2Q22+ 10. Đơn vị: sản lượng tính bằng tấn, giá: triệu đồng trên 1 tấn Tìm mức sản lượng để công ti đạt lợi nhuận tối đa.