M P= ∂Q = 36 K− 13 L
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
5.1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
5.1.1 Các khái niệm chung
Định nghĩa 5.1.1. Phương trình vi phân là phương trình liên hệ giữa biến độc lập, hàm phải tìm và các đạo hàm hoặc vi phân của nó.
Định nghĩa 5.1.2. Phương trình vi phân thường là phương trình vi phân với hàm số phải tìm là hàm một biến số.
Ví dụ 5.1.1.
y′ =y2+x2 y′′−2y′ = 2x3sinx x(y−3)dx+y(x−3)dy = 0
Định nghĩa 5.1.3. Phương trình vi phân đạo hàm riêng là phương trình vi phân với hàm số phải tìm là hàm nhiều biến số.
Ví dụ 5.1.2. x∂u ∂x +y∂u ∂y =u ∂2u ∂x2 +∂ 2u ∂y2 = 0
Định nghĩa 5.1.4. Cấp của phương trình vi phân là cấp cao nhất của đạo hàm có trong phương trình đó.
• x(y−3)dx+y(x−3)dy= 0 là PTVP cấp 1
Định nghĩa 5.1.5. Nghiệm của PTVP thường là hàm số thỏa mãn phương trình đó.
5.1.2 Phương trình vi phân thường cấp 1
Các dạng biểu diễn Phương trình vi phân thường cấp 1 có dạng tổng quát sau đây F(x, y, y′) = 0 (1.1) Các dạng thường gặp dy dx =f(x, y) M(x, y)dx+N(x, y)dy= 0 Nghiệm của phương trình vi phân thường cấp 1
• Hàm số y = Φ(x, C), C là hằng số tùy ý thỏa mãn phương trình (1.1) gọi là nghiệm tổng quát.
• Nghiệm tổng quát được tìm dưới dạng hàm ẩn Φ(x, y, C) = 0 thì được gọi là tích phân tổng quát của PTVP.
• Nghiệm riêng là nghiệm thu được khi cho nghiệm tổng quát giá trị C cụ thể.
• Tích phân riêng của PTVP thu được khi cho tích phân tổng quát giá trị C cụ thể
Bài toán Cauchy
Tìm nghiệm của phương trình vi phân
F(x, y, y′) = 0 thỏa mãn điều kiện ban đầu
5.2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1
5.2.1 PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤTPhương trình tuyến tính thuần nhất Phương trình tuyến tính thuần nhất
Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 có dạng
dy
dx +p(x)y=q(x) (2.1) Phương trình tuyến tính thuần nhất tương ứng
dy
dx +p(x)y= 0 (2.2) Nghiệm tổng quát của PT (2.2) là
y =Ce−R R p(x)dx Ví dụ 5.2.1. Giải phương trình dy dx − 2xy = 0 Lời giải:
Nghiệm tổng quát của pt trên là
y=CeR 2dx
x =Ce2 ln|x| =Cx2
Định lí 5.2.1. Nếu y0(x) là một nghiệm của pt (2.1), y(x) là một nghiệm của phương trình thuần nhất liên kết (2.2) thì y0(x) +y(x) là nghiệm của pt (2.1). Ví dụ 5.2.2. Giải phương trình:
dy
dx +y= 2ex
Phương pháp biến thiên hằng số
B1: Giải PTVP (2.2) tìm được nghiệm tổng quát có dạngy=Ce−R
p(x)dx (∗), C
là hằng số bất kỳ.
B3: Thay C(x) tìm được vào (*) ta được nghiệm tổng quát của PTVP (2.1). Ví dụ 5.2.3. Giải phương trình sau
y=x(y′−xcosx)
5.2.2 PHƯƠNG TRÌNH PHÂN LY BIẾN SỐ
Phương trình dạng M1(x)M2(y)dx + N1(x)N2(y)dy = 0 (3.1) hoặc dy dx =
f(x)g(y) Cách giải:
• Chia hai vế pt (3.1) cho M2(y)N1(x) để đưa về dạng:
p(x)dx+q(y)dy= 0 (3.2)
• Lấy tích phân hai vế pt (3.2) ta được tích phân tổng quát:
Z
p(x)dx+
Z
q(y)dy=C
Lưu ý: trong quá trình thực hiện, có thể ta đã làm mất các nghiệm làm cho
M2(y)N1(x) = 0
Ví dụ 5.2.4. Giải phương trình:
ydx= lnydy
với điều kiện y(2) = 1
Phương trình đưa về dạng phân li biến số Phương trình thuần nhất
Phương trình dy
dx =f(x, y) được gọi là phương trình thuần nhất nếu
f(tx, ty) = f(x, y)∀t
Cách giải:
Đổi biếny =xz để đưa về dạng phân li biến số với z là hàm phải tìm Ví dụ 5.2.5. Giải phương trình
Phương trình dạng dy
dx =f(ax+by) Cách giải:
Đổi biếnz =ax+by để đưa về dạng phân li biến số với z là hàm phải tìm Ví dụ 5.2.6. Giải phương trình: dy dx = 2x+y Phương trình dạng dy dx =fa1x+b1y+c1 a2x+b2y+c2 (3.3)
• Nếu a1b2 =a2b1 thì biến đổi về dạng dy