M P= ∂Q = 36 K− 13 L
PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN
6.1 KHÁI NIỆM
6.1.1 SƠ LƯỢC VỀ HỆ THỐNG SỐ PHỨCĐịnh nghĩa số phức Định nghĩa số phức
• Đơn vị ảo, được kí hiệu là i, là số thỏa mãn i2=−1
• Số phức có dạng z =a+bi, a, b∈R
a gọi là phần thực, kí hiệu là Rez;
b gọi là phần ảo, kí hiệu là Imz
• Hai số phức bằng nhau nếu phần thực bằng nhau, phần ảo bằng nhau.
a+bi=c+di⇔a=c, b=d a+bi= 0 ⇔a=b = 0
• Số phức liên hợp của z =a+bi là z =a−bi
Các dạng biểu diễn của số phức 1. Dạng đại số z =a+bi
2. Dạng hình học: Biểu diễn số phức z =a+bi bởi điểm có tọa độ(a;b)trên mặt phẳng tọa độ Oxy
3. Dạng lượng giác của số phức z =a+bi, z 6= 0 là z=r(cosϕ+isinϕ) trong đó
r=√ a2+b2, ( cosϕ= √ a a2+b2 sinϕ = √ b a2+b2 4. Dạng hàm mũ của số phức
Nếu z=r(cosϕ+isinϕ) thì z =reiϕ
1. Nếu ∆ =p2−4q >0 thì pt có hai nghiệm thực phân biệt x=−p2 ±√2∆
2. Nếu ∆ =p2−4q= 0 thì pt có nghiệm kép x=−p2
3. Nếu ∆ =p2−4q <0 thì pt có hai nghiệm phức liên hợp x=−p2 ± i√−2∆
6.1.2 KHÁI NIỆM SAI PHÂN VÀ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN
Định nghĩa 6.1.1. Hàm số với đối số nguyên
Hàm số u=f(n), n ∈N(n ∈N∗, n∈Z) được gọi là hàm số với đối số nguyên Kí hiệu: un
Định nghĩa 6.1.2. Sai phân
Sai phân (sai phân cấp 1) của hàm số u =un là độ chênh lệch giá trị của hàm số tại hai thời điểm kế tiếp.
Sai phân của hàm số u=un tại thời điểm n được kí hiệu là ∆un
∆un =un+1−un
Ví dụ 6.1.1. Hàm số un =n3 có sai phân cấp 1 tại thời điểm n là
∆un =un+1−un = (n+ 1)3−n3= 3n2+ 3n+ 1 Định nghĩa 6.1.3. Sai phân cấp m
Sai phân cấp m của hàm số u=un là sai phân của sai phân cấp m−1 của hàm số đó.
Sai phân cấp m của hàm số u=un tại thời điểm n được kí hiệu là ∆mun.
Ta có: ∆2un = ∆un+1−∆un =un+2−2un+1+un
Tương tự, ta có thể biểu diễn ∆mun qua un, un+1, un+2, ..., un+m
Định nghĩa 6.1.4. Phương trình sai phân
Phương trình sai phân là phương trình với hàm phải tìm là hàm đối số nguyên
u=un, trong đó hàm phải tìm xuất hiện dưới dạng sai phân các cấp của nó. Định nghĩa 6.1.5. Cấp của phương trình sai phân
Cấp của phương trình sai phân là cấp cao nhất của sai phân có trong phương trình đó.
Định nghĩa 6.1.6. Nghiệm của phương trình sai phân
1. Nghiệm tổng quát của phương trình sai phân là hàm đối số nguyên un =
ϕ(n, C1, C2, ..., Cn) thỏa mãn phương trình đó. (C1, C2, ..., Cn là các hằng số bất kì)
2. Nghiệm riêng của phương trình sai phân là nghiệm thu được khi cho nghiệm tổng quát giá trị cụ thể của C1, C2, ..., Cn.
6.2 PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH THUẦNNHẤT NHẤT
6.2.1 PTSP TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT CẤP 2Dạng phương trình: Dạng phương trình:
un+2+pun+1+qun = 0 (2.2) Cách giải
TH1 Nếu (2.3) có 2 nghiệm thực phân biệt k1, k2 thì nghiệm tổng quát của (2.2) là: un =C1k1n+C2k2n
TH2 Nếu (2.3) có nghiệm kép k6= 0 thì
nghiệm tổng quát của (2.2) là: un =C1kn+C2nkn
TH3 Nếu (2.3) có 2 nghiệm phức liên hợp k =α±iβ, k không thuộc R nghiệm tổng quát của (2.2) là: un =rn(C1cosϕn+C2sinϕn)
r=pα2+β2, cosϕ= √ α α2+β2 sinϕ= √ β α2+β2 Ví dụ 6.2.1. Giải các phương trình sau
1. un+2−4un = 0, u(0) = 1, u1 = 32. un+2+un+1+un = 0 2. un+2+un+1+un = 0 3. un+2−4un+1+ 4un = 0 6.2.2 PTSP TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT CẤP m Dạng phương trình: un+m+a1un+m−1+...+amun = 0 (2.4) Cách giải PT đặc trưng tương ứng: km+a1km−1+...+am = 0 (2.5) TH1 Nếu (2.5) có chứa j nghiệm thực phân biệt k1, .., kj thì nghiệm tổng quát của (2.4) có chứa: C1kn1 +...+Cjkjn
TH2 Nếu (2.5) có chứa nghiệm ki bội s thì nghiệm tổng quát của (2.4) có chứa
C1kin+C2nkin+C3n2kin...+Csns−1kin
TH3 Nếu (2.5) có chứa nghiệm phức liên hợp k =α±iβ, k không thuộc R bội s
nghiệm tổng quát của (2.4) có chứa: rn(C1cosϕn+C2sinϕn) +nrn(C3cosϕn+
C4sinϕn) +...+ns−1rn(C2s−1cosϕn+C2ssinϕn)
r=pα2+β2, cosϕ= √ α α2+β2 sinϕ= √ β α2+β2 Ví dụ 6.2.2. Giải các phương trình sau
1. un+3−un+2+ 4un+1−4un = 02. un+3+un = 0 2. un+3+un = 0
6.3 PTSP TUYẾN TÍNH KHÔNG THUẦN NHẤT CẤP m
6.3.1 LIÊN HỆ VỚI PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH KHÔNG THUẦNNHẤT NHẤT
Dạng PT:
un+m+a1un+m−1+...+amun =f(n) (2.6) PT thuần nhất tương ứng:
un+m+a1un+m−1+...+amun = 0 (2.7)
Định lí 6.3.1. Nếu u′n là nghiệm tổng quát của (2.7), u∗n là một nghiệm riêng của (2.6) thì nghiệm tổng quát của (2.6) là un =u′n+u∗n
6.3.2 CÁCH GIẢI PTSP TUYẾN TÍNH KHÔNG THUẦN NHẤT CẤP m
Cách giải phương trình (2.6) với f(n) = Pm(n)βn, β ∈R 1. Giải pt (2.7) để tìm u′n
2. Tìm 1 nghiệm riêng u∗n của (2.6)
• Tìm dạng nghiệm riêng u∗n
+ Nếu PT đặc trưng có tất cả các nghiệm k6=β thì un∗ =βnQm(n) + Nếu PT đặc trưng có nghiệm k =β (bội s) thì u∗n =nsβnQm(n)
• Thay dạng u∗n vào pt (2.6), đồng nhất hệ số thì ta tìm được u∗n
3. Nghiệm tổng quát của (2.6) là un =u′n +u∗n
Ví dụ 6.3.1. Giải các phương trình sau
Dạng PT: un+m+a1un+m−1+...+amun =f(n) +g(n) Cách giải:
1. Giải PT thuần nhất tương ứng để tìm nghiệm u′n. 2. Tìm một nghiệm riêng u∗n của phương trình
un+m+a1un+m−1+...+amun =f(n) 3. Tìm một nghiệm riêng u∗∗n của phương trình
un+m+a1un+m−1+...+amun =g(n) 4. Nghiệm của PT ban đầu un =u′n+u∗1n+u∗2n
Ví dụ 6.3.2. Giải phương trình sau