6 Vô cùng lớn, vô cùng bé
6.1 Vô cùng bé (VCB)
Định nghĩa 1.11. Hàm số f(x) được gọi là một vô cùng bé (viết tắt là VCB) khi x → a nếu
lim
x→af(x) =0.
Mối liên hệ giữa giới hạn và VCB
lim
x→a f(x) = ℓ⇐⇒ f(x) = ℓ+α(x);
trong đóα(x) là một VCB trong quá trình x→ a.
Một số tính chất của VCB
1. Tổng hai VCB (đối với một VCB người ta không quan tâm đến dấu của nó) là một VCB.
2. Tích của VCB với một đại lượng bị chặn là một VCB. 3. Tích các VCB là một VCB.
Chú ý:Thương của hai VCB là một dạng vô định 0 0.
So sánh các VCB
Định nghĩa 1.12 (VCB cùng bậc, tương đương). Giả sử α(x) và β(x) là các VCB khi
x→ a.
i) Nếu lim
x→a
α(x)
β(x) = A6=0, ta nói rằngα(x),β(x) là các VCB cùng bậc. ii) Đặc biệt, nếu lim
x→a
α(x)
β(x) =1thì ta nói α(x) và β(x) là các VCB tương đương và viết
α(x)∼ β(x).
Một số VCB tương đương hay dùng trong quá trìnhx →0
• x ∼sinx∼tanx∼arcsinx ∼arctanx ∼ex−1∼ a
x−1
lna ∼ln(1+x),
• (1+x)a−1∼ ax. Đặc biệt, √m
1+αx−1∼ αx
6. Vô cùng lớn, vô cùng bé 31
• 1−cosx∼ x2
2 .
Định nghĩa 1.13 (VCB bậc cao). Nếu lim
x→a
α(x)
β(x) =0, ta nói rằngα(x) là VCB bậc cao hơn
β(x) và kí hiệuα(x) =o(β(x)).
Định lý 1.11.
a) Hiệu hai VCB tương đương là một VCB bậc cao hơn VCB đó. b) Tích hai VCB là một VCB bậc cao hơn cả hai VCB đó.
Ứng dụng của VCB để tìm giới hạn
Định lý 1.12 (Quy tắc thay tương đương). Nếuα1(x) ∼α2(x),β1(x)∼ β2(x)khix →a thì lim x→a α1(x) β1(x) =xlim→a α2(x) β2(x), xlim→aα1(x)γ(x) = lim x→aα2(x)γ(x).
Định lý 1.13 (Quy tắc ngắt bỏ VCB bậc cao). Nếu α1(x) = o(α2(x)),β1(x) = o(β2(x)) khi x→ athì α1(x) +α2(x) ∼α2(x)và lim x→a α1(x) +α2(x) β1(x) +β2(x) =xlim→a α2(x) β2(x).
Chú ý 1.6. Sai lầm hay mắc: Thay tương đương khi có hiệu hai VCB. Chẳng hạn như, với VCBα(x) =sinx−tanx+x3 khi x→0ta có
i) Thay tương đương α(x)∼ x3, ii) Thực tế,α(x) ∼ x23. Thật vậy, lim x→0 sinx−tanx+x3 x3 =1+lim x→0 sinx1−cos1x x3 =1+lim x→0 −sinx(1−cosx) x3cosx = 1 2.
Ví dụ 6.1 (Giữa kì, K61). So sánh cặp vô cùng bé sau đây khi x→0
a) α(x) = √3 x2+x3, β(x) =esinx−1. b) α(x) = √5 x4+x5, β(x) =etanx−1. c) α(x) = √5 x4−x5, β(x) =ln(1+tanx). d) α(x) = √3 x2−x3, β(x) =ln(1+sinx). e) α(x) =e√x−1, β(x) = √ x+x2. f) α(x) =ex2−1, β(x) = x2+x3.