1 Giới hạn của hàm số nhiều biến số
2.5 Đạo hàm theo hướng Gradient
Định nghĩa 3.34. Cho f(x,y,z) là một hàm số xác định trong một miền D ∈ R3 và~l = (l1,l2,l3) là một véctơ đơn vị bất kì trongR3. Giới hạn, nếu có,
lim
t→0
f(M0+t~l)− f(M)
2. Đạo hàm và vi phân 151
được gọi là đạo hàm của hàm số f theo hướng~ltại M0và được kí hiệu là ∂f
∂~l(M0).
• Nếu~l không phải là véc tơ đơn vị thì giới hạn trong công thức 3.2 có thể được thay bằng
lim
t→0
u(x0+tcosα,y0+tcosβ,z0+tcosγ)−u(x0,y0,z0)
t ,
trong đócosα, cosβ,cosγlà các cosin chỉ phương của−→l .
• Nếu~ltrùng với véctơ đơn vịicủa trụcOxthì đạo hàm theo hướng~lchính là đạo hàm riêng theo biếnx của hàm f
∂f
∂~l(M0) = ∂f
∂x(M0)
• Vậy đạo hàm riêng theo biếnx chính là đạo hàm theo hướng của trụcOx, cũng như vậy, ∂f
∂y,
∂f
∂z là các đạo hàm của f theo hướng của trụcOyvàOz. Định lý sau đây cho ta mối liên hệ giữa đạo hàm theo hướng và đạo hàm riêng:
Định lý 3.53. Nếu hàm số f(x,y,z) khả vi tại điểm M0(x0,y0,z0) thì tại M0 có đạo hàm theo mọi hướng~l và ta có
∂f
∂~l(M0) = ∂f
∂x(M0)cosα+∂f
∂y(M0)cosβ+ ∂f
∂z(M0)cosγ
trong đó(cosα, cosβ, cosγ)là cosin chỉ phương của~l.
Cho f(x,y,z) là hàm số có các đạo hàm riêng tại M0(x0,y0,z0). Người ta gọi gradient của f tại M0là véctơ ∂f ∂x(M0),∂f ∂y(M0), ∂f ∂z(M0)
và được kí hiệu là−−→gradf(M0).
Định lý 3.54. Nếu−→l là một véctơ đơn vị và hàm số f(x,y,z)khả vi tạiM0thì tại đó ta có
∂f
∂~l(M0) = −−→
gradf.~l
Chú ý: ∂f
∂~l(M0) thể hiện tốc độ biến thiên của hàm số f tại M0 theo hướng~l. Từ công thức ∂f ∂~l(M0) = −−→ gradf.~l = −−→ gradf ~l . cos−−→ gradf,~l ta có ∂f ∂~l(M0) đạt giá trị lớn nhất bằng −−→ gradf ~l
nếu~l có cùng phương với−−−→grad f. Cụ thể
• Theo hướng~l, hàm số f tăng nhanh nhất tại M0 nếu~l có cùng phương, cùng hướng với−−−→gradf.
• Theo hướng~l, hàm số f giảm nhanh nhất tại M0nếu~lcó cùng phương, ngược hướng với−−−→gradf.