8 Đạo hàm và vi phân
8.10 Đọc thêm: Về khái niệm vi phân
Vi phân có lẽ là một khái niệm trừu tượng và dễ gây hiểu nhầm nhất trong môn Giải tích I. Theo sự hiểu biết của tác giả thì có nhiều cách tiếp cận khác nhau đối với phép tính vi phân.
1) Người đầu tiên đưa ra khái niệm vi phân có lẽ là Leibniz, khi ông coi dy là một đại lượng vô cùng bé thể hiện sự thay đổi của hàm sốy= f(x)tương ứng với sự thay đổi vô cùng bédxcủa biến sốx, nghĩa là ông định nghĩa
f′(x) := dy dx. Kí hiệu dy
dx này là kí hiệu của Leibniz cho đạo hàm của hàm số f(x). Mặc dù có nhiều chỉ trích cho kí hiệu này, nó vẫn được dùng cho đến ngày nay. Cũng chú ý thêm rằng, kí hiệu f′(x)trên là kí hiệu của d’Alambert.
2) Cauchy là người đã cải tiến ý tưởng của Leibniz và những người đi trước như sau. Trước hết, ông định nghĩa phép toán đạo hàm
f′(x) := lim
∆x→0
f(x+∆x)−f(x)
∆x
là giới hạn của tỉ số giữa số gia của hàm số và số gia của đối số khi số gia của đối số tiến về0. Sau đó ông định nghĩa vi phân
dy = f′(x)dx,
như một hàm số của hai biến sốx vàdx, ở đódxlà một biến số mới, có thể lấy giá trị tùy ý, không nhất thiết phải là một đại lượng VCB như trong kí hiệu của Leibniz. 3) Ngày nay, vi phân được định nghĩa theo lối tiếp cận hiện đại như sau:
8. Đạo hàm và vi phân 55
Định nghĩa 1.24. Cho hàm số f(x)có đạo hàm tại x0. Ta gọi ánh xạ, kí hiệu làdx0f, xác định bởi
dx0f : R→R,
h7→ f′(x0)h là vi phân của f tạix0.
Vậy vi phân của f tạix0là một ánh xạ tuyến tính.
i) Như vậy, vi phân của hàm số một biến số f(x) là một hàm sốd f của hai biến số x0 vàhcho bởi
dx0f(h) = f′(x0)h,
ở đóhlà một biến số mới có thể nhận giá trị tùy ý.
ii) Kí hiệu Idlà ánh xạ đồng nhất, khi đó,dx0(Id)(h) = h, hay là dx0(Id) =Id. iii) Một cách lạm dụng kí hiệu, ta kí hiệu x là ánh xạ đồng nhất x := Id. Khi đó,
dx0x = Id là ánh xạ đồng nhất và không phụ thuộc vào x0 nên ta kí hiệu nó là
dx. Điều này dẫn đếndx0f = f′(x0)dx. Đôi khi, người ta bỏ x0trongdx0f và, một
cách lạm dụng, thayx0bởi xtrong f′(x0)để có biểu thức cô đọng d f = f′(x)dx.