Bản chất sóng của hạt đã dẫn đến một loạt các hiệu ứng chỉ xảy ra trong thế giới vi mô. Chẳng hạn như chồng chất trạng thái là một hiệu ứng lượng tử rất đặc biệt, khi một trạng thái có được từ sự chồng chất của các trạng thái xác định khác. Do tất cả các quy luật động lực học phi tương đối tính của thế giới vi mô đều bắt nguồn từphương trình Schrӧdinger cho nên nguyên lý chồng chất trạng thái cũng phải được giải thích dựa vào phương trình động lực học lượng tử này. Ý nghĩa của hàm sóng chồng chất
cũng được giải thích dưới góc độ thống kê.
4.1. Giao thoa electron
Clinton Davisson và George Thomson đã kiểm tra tính sóng của electron bằng thí nghiệm về nhiễu xạ. Sau đó, nhiều nhà khoa học khác cũng đã kiểm chứng tính sóng của electron bằng thí nghiệm giao thoa chùm electron qua hai khe, tương tự như thí
nghiệm Young về giao thoa ánh sáng qua hai khe. Trước tiên ta nhắc lại các điểm cơ
bản của thí nghiệm Young về giao thoa ánh sáng qua hai khe. Sơ đồ thí nghiệm như
trong Hình 4.1. Xét một điểm trên màn hứng sáng thì cường độ ánh sáng tại đó chính là
tổng hợp cường độ của hai tia sáng đến từ hai khe khác nhau
1 2
u a cos t kd a cos t kd 2a cos t kd cos k d / 2
Đây là kết quả của sự chồng chất sóng trong vật lý cổđiển.
Hình 4.1: Thí nghiệm giao thoa ánh sáng qua hai khe Young
Bây giờ ta lặp lại thí nghiệm trên nhưng thay nguồn phát ánh sáng bằng nguồn
phát chùm electron. Để có thể đếm được số electron đến màn, ta thay màn hứng ánh sáng bằng màn huỳnh quang. Độ sáng của màn huỳnh quang sẽ tỉ lệ với mật độ
37
electron tại điểm sáng. Trong thí nghiệm này, đầu tiên cảhai khe đều mở, Hình 4.2 thể
hiện kết quả theo hai kịch bản. Kịch bản A là theo dự đoán dựa vào quan điểm vật lý cổđiển, trong khi kịch bản B là kết quả thực, thu được từ thực nghiệm. Trong kịch bản A thì phân bố electron rơi trên màn từ mỗi khe sẽ có dạng Gauss, và tổng phân bố
electron trên màn từ hai khe sẽ là tổng của hai phân bố trên, có dạng như trên hình vẽ. Kịch bản B là những gì xảy ra trong thí nghiệm của Claus Jonsson: trên hình là bức tranh giao thoa electron giống như hình ảnh trong thí nghiệm Young cho giao thoa ánh sáng. Bức tranh giao thoa này chỉ có thể giải thích cho tính sóng của electron.
(A) (B)
Hình 4.2: Thí nghiệm giao thoa hai khe với electron với hai kết quả khác nhau (A) từ
quan điểm cổđiển; (B) từ thí nghiệm của Claus Jonsson ấn đề đặ ế ể giao thoa đượ ớ ờ ệm trong trườ ợp hai khe đề ở ậ ận thông thườ ủ ộ
Hàm sóng electron chỉ có thể hoặc là 1 x (cho các điện tử đi qua khe 1) hoặc là
2 x
(cho các điện tử đi qua khe 2), do đó ta có thểchia các electron đến một điểm
trên màn hình thành hai nhóm độc lập đi qua hai khe khác nhau. Do thí nghiệm với từng electron rơi đơn lẻ trên màn nên các electron này không tương tác với nhau và
38
việc chia hai nhóm electron là hoàn toàn hợp lý. Khi đó, mật độelectron rơi trên màn
phải là
x 1 x 2 x
(4.1)
Tuy nhiên, điều này đã không xảy ra. Trong thí nghiệm với hai khe cùng mở, mật độ
electron trên màn hình có giá trị cực đại, cực tiểu xen kẽ trong một bức tranh giao thoa
như ta đã biết theo kịch bản B, vì vậy hệ thức (4.1) rõ ràng là không đúng.
Vậy lập luận ở trên của chúng ta sai ở đâu? Điểm sai chính là ta cho rằng có thể
phân biệt rạch ròi electron qua khe 1 và electron qua khe 2. Kết quả thực nghiệm trên buộc ta phải thay đổi quan điểm và hiểu rằng một electron khi bay ra khỏi nguồn phát nó có thể đi qua khe 1 hay khe 2 để rơi trên màn. Chúng ta không thể nào biết được
trước khi rơi trên màn electron đã đi qua khe nào. Vì vậy, hàm sóng của electron có thể
là tổng hợp của hai hàm sóng
x 1 x 2 x
(4.2)
Và mật độ electron tại một điểm trên màn
2 2 2 * * 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 x x 2 cos (4.3)
trong đó 1, 2 lần lượt là pha của các hàm sóng 1, 2. Công thức (4.3) giải thích được bức tranh giao thoa electron.
Ta kết luận rằng công thức (4.3) hoàn toàn phù hợp với thực nghiệm về hiện
tượng giao thoa electron trong thí nghiệm bắn chùm electron qua hai khe. Đây không
phải là giao thoa giữa hai chùm electron mà là giao thoa giữa hai hàm sóng của cùng một electron.
4.2. Phát biểu nguyên lý chồng chất trạng thái vi mô
Nếu hạt có thểở trạng thái tương ứng với hàm sóng 1 x, t và có thểở trạng thái
2 x, t
thì hạt có thểở trạng thái x, t , với x, t là tổ hợp tuyến tính của 1 x, t
39
x c1 1 x c2 2 x
(4.4)
1 2
c ,c là những hằng số
Ý nghĩa vật lý của c ,c 1 2 được xác định như sau: các đại lượng w1 c12 và w2 c2 2
lần lượt là xác suất đo được electron đi qua khe 1 hay khe 2. Do vậy, ta có
2 2 1 2 c c 1 Mở rộng: n j j j 1 x, t c x, t (4.5) Xác suất để tìm thấy hệ trong trạng thái j x, t là cj2. Do vậy, ta có hệ thức n 2 j j 0 c 1
4.3. So sánh nguyên lý chồng chất lượng tử với cổđiển
Trong vật lý cổđiển, nguyên lý chồng chất được áp dụng khi cộng các đại lượng vật lý cụ thể. Ví dụ, ta có điện tích 1 tạo ra một điện trường E1, điện tích 2 tạo ra điện
trường E2 thì khi cả hai điện tích cùng tồn tại, điện trường tổng hợp sẽ là chồng chất
hai điện trường riêng lẻ: E E 1E2. Tương tự như vậy, chồng chất của hai sóng tới một điểm chính là tổng của hai sóng.
Tuy nhiên, sự chồng chất trong thế giới vi mô là chồng chất trạng thái chứ không phải chồng chất đại lượng vật lý. Ví dụ, trạng thái 1 ứng với hạt có năng lượng E1, trạng thái 2 ứng với hạt có năng lượng E2 thì khi ở trạng thái chồng chất của hai trạng
thái 1 và 2, năng lượng của hạt không phải là E1 + E2 mà khi đo sẽ có giá trị E1 hoặc E2. Tương tự như vậy đối với mật độ hạt. Như vậy, sự chồng chất các đại lượng vật lý của hệ vi mô không tuân theo quy luật chồng chất như trong cổđiển mà hoàn toàn theo quy luật thống kê.
40 Câu hỏi và bài tập 4.1 Chứng minh hàm sóng chồng chất dạng tổng quát 1 n j j j x,t c x,t là nghiệm
của phương trình Schrӧdinger
4.2 Chứng minh rằng Hamiltonian 2 22 2 d ˆ H V x,t m dx là toán tử tuyến tính
41