Ví dụ
Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm số P∞
n=1
xn
n.
Ví dụ
Tìm tập xác định của hàm số Bessel được định nghĩa bởi
J0(x) = ∞ X n=0 (−1)nx2n 22n(n!)2 .
Định lý (Abel)
Nếu chuỗi lũy thừa P∞
n=0anxn hội tụ tại x0 6=0, thì nó cũng hội tụ (tuyệt đối) tại mọi điểmx mà|x|<|x0|.
Chuỗi lũy thừa
Định lý (Abel)
Nếu chuỗi lũy thừa P∞
n=0anxn hội tụ tại x0 6=0, thì nó cũng hội tụ (tuyệt đối) tại mọi điểmx mà|x|<|x0|.
Hệ quả
Nếu chuỗi lũy thừa P∞
n=0anxn phân kỳ tại x06=0, thì nó cũng phân kỳ tại mọi điểm x mà |x|>|x0|.
Với mỗi chuỗi lũy thừa P∞
n=0anxn cho trước, chỉ có 3 khả năng sau có thể xảy ra.
i) Chuỗi hội tụ tại duy nhất điểm x =0. ii) Chuỗi hội tụ tại mọi điểm x∈R.
iii) Tồn tại một số thực dươngR sao cho chuỗi đã cho hội tụ nếu |x|<R và phân kỳ nếu |x|>R.
Chuỗi lũy thừa
Hệ quả
Với mỗi chuỗi lũy thừa P∞
n=0anxn cho trước, chỉ có 3 khả năng sau có thể xảy ra.
i) Chuỗi hội tụ tại duy nhất điểm x =0. ii) Chuỗi hội tụ tại mọi điểm x∈R.
iii) Tồn tại một số thực dươngR sao cho chuỗi đã cho hội tụ nếu |x|<R và phân kỳ nếu |x|>R.
Định nghĩa
Bán kính hội tụ của một chuỗi lũy thừa được định nghĩa bằng 0 trong trường hợp i)
bằng∞ trong trường hợp ii)
Cách tìm bán kính hội tụ Nếu ρ= lim n→+∞ an+1 an hoặcρ= lim n→+∞ n
√an thì bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa là R = 1ρ, với quy ước là R=0 nếuρ=∞và R=∞nếu ρ=0.