Định nghĩa
Nếu chuỗi Fourier của hàm f(x) hội tụ về hàm f(x)thì ta nói hàm f(x)
Nếu chuỗi Fourier của hàm f(x) hội tụ về hàm f(x)thì ta nói hàm f(x)
được khai triển thành chuỗi Fourier
Định lý (Dirichlet)
Nếu
f(x) tuần hoàn với chu kì2π , đơn điệu từng khúc,
bị chặn trên[−π, π]
thì chuỗi Fourier của nó hội tụ tại mọi điểm trên đoạn [−π, π], và
S(x) = (
f(x), nếu x là điểm liên tục của f(x)
f(x+0)+f(x−0)
Chuỗi Fourier
Ví dụ
Khai triển thành chuỗi Fourier hàm số f(x) tuần hoàn với chu kì 2π, xác định như sau 1 f(x) = ( 1, 0≤x ≤π −1, −π≤x<0. 2 f(x) = ( x, −x ≤x≤π −1, −π≤x<0. 3 f(x) =x2,−π <x < π. 4 f(x) = ( 1, 0≤x≤π 0, −π ≤x <0.
Nếuf(x) là hàm số chẵn thìak = π2Rπ
0 f(x)coskxdx,bk =0,∀k ∈N. Nếu f(x) là hàm số lẻ thìbk = π2Rπ
Chuỗi Fourier
Khai triển Fourier các hàm số chẵn, lẻ
Nếuf(x) là hàm số chẵn thìak = π2Rπ
0 f(x)coskxdx,bk =0,∀k ∈N. Nếu f(x) là hàm số lẻ thìbk = π2Rπ
0 f(x)sinkxdx,ak =0,∀k ∈N.
Ví dụ
Khai triển thành chuỗi Fourier hàm số f(x) tuần hoàn với chu kì 2π, xác định như sauf(x) =x,−π <x < π.
Nếuf(x) là hàm số chẵn thìak = π2Rπ
0 f(x)coskxdx,bk =0,∀k ∈N. Nếu f(x) là hàm số lẻ thìbk = π2Rπ
0 f(x)sinkxdx,ak =0,∀k ∈N.
Ví dụ
Khai triển thành chuỗi Fourier hàm số f(x) tuần hoàn với chu kì 2π, xác định như sauf(x) =x,−π <x < π.
Ví dụ
Khai triển thành chuỗi Fourier của các hàm số cosine, sine các hàm số
1 f(x) = ( 1, 0≤x≤ π2 0, π 2 <x≤π. 2 f(x) =1−x,0≤x≤π. 3 f(x) =π+x,0≤x≤π. 4 f(x) =x(π−x),0<x < π.
Khai triển chuỗi Fourier tuần hoàn với chu kì bất kìNếu hàm số f(x) tuần hoàn với chu kì 2L, đơn điệu từng khúc và bị chặn