Định nghĩa
Hàm số f(x) được gọi là có biểu diễn chuỗi lũy thừa tạia nếu
f(x) = P∞
n=0
an(x−a)n, |x−a|<R,với R>0 nào đó.
Định lý (Điều kiện cần để hàm số khai triển được thành chuỗi lũy thừa)
Nếu hàm số f(x) có biểu diễn chuỗi lũy thừa tại điểmathì thì nó phải có đạo hàm mọi cấp trong lân cận của điểm avà biểu diễn chuỗi lũy thừa của nó phải có dạng f(x) = P∞
n=0
f(n)(a)
Định nghĩa
Hàm số f(x) được gọi là có biểu diễn chuỗi lũy thừa tạia nếu
f(x) = P∞
n=0
an(x−a)n, |x−a|<R,với R>0 nào đó.
Định lý (Điều kiện cần để hàm số khai triển được thành chuỗi lũy thừa)
Nếu hàm số f(x) có biểu diễn chuỗi lũy thừa tại điểmathì thì nó phải có đạo hàm mọi cấp trong lân cận của điểm avà biểu diễn chuỗi lũy thừa của nó phải có dạng f(x) = P∞ n=0 f(n)(a) n! (x−a)n. Chú ý: Hàm số f(x) = ( e−x12 nếu x6=0 0 nếu x=0 có f
(n)(0) =0 với mọin nên chuỗi lũy thừa tại x =0 của nó bằng 0.
Khai triển một hàm số thành chuỗi lũy thừa
Định nghĩa
Chuỗi lũy thừa P∞
n=0
f(n)(a)
n! (x−a)nđược gọi là chuỗi Taylor của hàm số
f(x) tại điểma. Chuỗi Taylor tại điểm 0gọi là chuỗi Maclaurin.
Nếu P∞
n=0
f(n)(a)
n! (x−a)n=f(x) thì ta nói hàm số f(x) khai triển được thành chuỗi Taylor trong lân cận củaa.
Chuỗi lũy thừa P∞
n=0
f(n)(a)
n! (x−a)nđược gọi là chuỗi Taylor của hàm số
f(x) tại điểma. Chuỗi Taylor tại điểm 0gọi là chuỗi Maclaurin.
Nếu P∞
n=0
f(n)(a)
n! (x−a)n=f(x) thì ta nói hàm số f(x) khai triển được thành chuỗi Taylor trong lân cận củaa.
Ví dụ
Tìm chuỗi Maclaurin của hàm số f(x) =ex và tìm bán kính hội tụ của nó.
Câu hỏi:
ex có biểu diễn chuỗi lũy thừa tại 0 hay không? Nếu nó có biểu diễn chuỗi lũy thừa tại 0, thì liệu
ex =1+ x
1! +x2
2! +· · ·+xn
Khai triển một hàm số thành chuỗi lũy thừa
Định lý (Điều kiện đủ để hàm số khai triển được thành chuỗi lũy thừa)
Nếu hàm số f(x)có đạo hàm mọi cấp trong lân cận{x :|x−a|<R}của điểma và |f(n)(ξ)| ≤M với mọi ξ trong lân cận nói trên, thì hàm sốf(x)
khai triển được thành chuỗi Taylor tại điểm đó và
f(x) = ∞ X n=0 f(n)(a) n! (x−a)n, |x−a|<R.
Định lý (Điều kiện đủ để hàm số khai triển được thành chuỗi lũy thừa)
Nếu hàm số f(x)có đạo hàm mọi cấp trong lân cận{x :|x−a|<R}của điểma và |f(n)(ξ)| ≤M với mọi ξ trong lân cận nói trên, thì hàm sốf(x)
khai triển được thành chuỗi Taylor tại điểm đó và
f(x) = ∞ X n=0 f(n)(a) n! (x−a)n, |x−a|<R. Ví dụ Chứng minh rằng ex = P∞ n=0 xn n!∀x ∈R.
Khai triển Maclaurin một số hàm số sơ cấp1 (1+x)k =1+kx+k(k2!−1)x2+· · ·+ kn 1 (1+x)k =1+kx+k(k2!−1)x2+· · ·+ kn xn+· · · (R=1) 2 1 1+x =1−x+x2− · · ·+ (−1)nxn+· · · (R=1) 3 1 1−x =1+x+x2+· · ·+xn+· · · (R=1) 4 ex =1+1!x +x2!2 +· · ·+xnn! +· · · (R =∞) 5 sinx =x−x3 3! +x5 5! − · · ·+ (−1)n x2n+1 (2n+1)!+· · · (R =∞) 6 cosx=1−x2 2! +x4!4 − · · ·+ (−1)n x2n (2n)!+· · · (R =∞) 7 ln(1+x) =x−x22 +x33 − · · ·+ (−1)n−1xn n +· · · (R=1)
2 11+x =1−x+x2− · · ·+ (−1)nxn+· · · (R=1) 1+x =1−x+x2− · · ·+ (−1)nxn+· · · (R=1) 3 1 1−x =1+x+x2+· · ·+xn+· · · (R=1) 4 ex =1+1!x +x2!2 +· · ·+xnn! +· · · (R =∞) 5 sinx =x−x3 3! +x5 5! − · · ·+ (−1)n x2n+1 (2n+1)!+· · · (R =∞) 6 cosx=1−x2 2! +x4!4 − · · ·+ (−1)n x2n (2n)!+· · · (R =∞) 7 ln(1+x) =x−x22 +x33 − · · ·+ (−1)n−1xn n +· · · (R=1) Ví dụ
Khai triển Maclaurin các hàm số sau
a) f(x) =ln(2+x) b) f(x) =sin2x c)f(x) =exsinx d) f(x) = Z x 0 e−t2dt e) f(x) =ln1+x 1−x f) f(x) = Z x 0 sint t dt.
Chương 1: Chuỗi1 Đại cương về chuỗi số 1 Đại cương về chuỗi số
2 Chuỗi số dương
Tiêu chuẩn tích phân Tiêu chuẩn so sánh Tiêu chuẩn D’Alambert Tiêu chuẩn Cauchy
3 Chuỗi số với số hạng có dấu bất kì
Chuỗi hội tụ tuyệt đối, bán hội tụ Chuỗi đan dấu
4 Chuỗi hàm số
Chuỗi hàm số hội tụ Chuỗi hàm số hội tụ đều 5 Chuỗi lũy thừa
Các tính chất của chuỗi lũy thừa
Khai triển một hàm số thành chuỗi lũy thừa 6 Chuỗi Fourier