5 Chuỗi lũy thừa
5.2 Khai triển một hàm số thành chuỗi lũy thừa
Trong bài trước, chúng ta đã áp dụng các tính chất của chuỗi lũy thừa để tìm biểu diễn lũy thừa của một số hàm số phân thức nhất định. Trong trường hợpf(x) là một hàm số bất kỳ, thì tìm biểu diễn lũy thừa củaf(x)như thế nào? Mục đích của bài này là để trả lời câu hỏi đó.
Định lý 5.4. Nếu hàm sốf(x)có biểu diễn chuỗi lũy thừa tại điểma, nghĩa là
f(x) =
∞
X
n=0
an(x−a)n, |x−a|< R,
thì các hệ số của chuỗi lũy thừa được xác định bởi công thứcan = f(nn)!(a).
Như vậy nếu hàm sốf(x)có biểu diễn chuỗi lũy thừa tạia, thì
• nó phải có đạo hàm mọi cấp trong lân cận của điểma, và
• biểu diễn chuỗi lũy thừa của nó phải có dạng
∞
X
n=0
f(n)(a)
n! (x−a)n. (1.14)
Chứng minh. Theo giả thiết,
f(x) = a0+a1(x−a) +a2(x−a)2+· · ·+an(x−a)n+· · · (1.15) Thayx=a vào phương trình (1.15) ta được
f(a) =a0.
Đạo hàm 2 vế của phương trình (1.15):
f′(x) =a1+ 2a2(x−a) +· · ·+nan(x−a)n−1+· · · (1.16) Thayx=a vào phương trình (1.16) ta được
f′(a) =a1.
Tiếp tục quá trình này ta đượcan= f(nn)!(a).
Điều kiện hàm số f(x)có đạo hàm mọi cấp trong lân cận của điểma chỉ là điều kiện cần, chứ chưa phải là điều kiện đủ. Nghĩa là, có những hàm số khả vi vô hạn nhưng lại không khai triển được thành chuỗi Taylor. Ví dụ như hàm số sau đây
f(x) = e−x12 nếux6= 0 0 nếux= 0
5. Chuỗi lũy thừa 59
Định nghĩa 1.1. Chuỗi lũy thừa trong Phương trình 1.14 được gọi là chuỗi Taylor của hàm sốf(x)tại điểm a. Trường hợpa= 0thì chuỗi Taylor trở thành
∞ X n=0 f(n)(0) n! x n. (1.17)
Chuỗi 1.17 được gọi là chuỗi Maclaurin của hàm sốf(x).
Ví dụ 5.1. Tìm chuỗi Maclaurin của hàm số f(x) =exvà tìm bán kính hội tụ của nó.
Chứng minh. f(x) = ex ⇒ f(n)(x) = ex. Do đó f(n)(0) = 1với mọi n. Chuỗi Maclaurin của hàm sốf(x)là ∞ X n=1 f(n)(0) n! x n = 1 + x 1!+ x2 2! +· · ·+x n n! +· · · Để tìm bán kính hội tụ, xét an+1 an = (nn+1)!! = 1 n+1 → 0khi n → ∞. Do đó bán kính hội tụ
R=∞, i.e., chuỗi đã cho hội tụ với mọi x.
Định nghĩa 1.2. Nếu chuỗi TaylorP∞
n=0
f(n)(a)
n! (x−a)nhội tụ đến hàm sốf(x)trong một lân cận Ba(R) = {x : |x−a| < R} nào đó của điểm a thì ta nói hàm số f(x) khai triển được thành chuỗi Taylor trong lân cận đó.
Hai câu hỏi đặt ra đối với chuỗi Taylor của hàm sốf(x):
• Chuỗi TaylorF(x) = P∞
n=0
f(n)(a)
n! (x−a)ncó hội tụ không?
• Nếu nó hội tụ thì liệu nó có hội tụ đến hàm sốf(x)hay không? Định lý sau đây trả lời các câu hỏi đó.
Định lý 5.5. Nếu f(x) có đạo hàm mọi cấp trong lân cận Ba(R) = {x : |x−a| < R} của điểmavà|f(n)(ξ)| ≤M với mọiξ∈Ba(R), thì chuỗi Taylor P∞
n=0
f(n)(a)
n! (x−a)nhội tụ đếnf(x)
trong lân cậnBa(R). Nghĩa làf(x)khai triển được thành chuỗi Taylor tạia,
f(x) = ∞ X n=0 f(n)(a) n! (x−a)n, |x−a|< R. Ví dụ 5.1. Chứng minh rằng ex = P∞ n=0 xn n!, ∀x∈R.
Chứng minh. Xét lân cận B0(R) = {x:|x|< R}vớiR > 0nào đó. Hàm số f(x) =ex có
|fn(x)|=ex < eR=M, ∀x∈B0(R).
Theo Định lý 5.5,f(x)khai triển được thành chuỗi Taylor tạix= 0trong lân cậnB0(R),
ex = ∞ X n=0 xn n!, ∀x∈B0(R). Vì sốRcó thể chọn một cách tùy ý nênex = P∞ n=0 xn n!, ∀x∈R.