3 Phương trình vi phân cấp hai
3.8 Đọc thêm: Phương pháp đặc trưng giải PTVP tuyến tính cấp n với hệ
tính cấp n với hệ số hằng
Xét PTVP tuyến tính cấp nsau:
y(n)+a1y(n−1)+· · ·+any= 0, (2.22) trong đóa1, a2, . . . , anlà các hằng số thực. Xét phương trình đặc trưng
Xn+a1Xn−1+· · ·+an= 0. (2.23) Ta chia thành các trường hợp sau.
1. Nếu PTĐT (2.23) cón nghiệm thực khác nhauλ1, . . . , λn. Khi đó, mỗi nghiệm đơnλi
của PTĐT sẽ tương ứng với một nghiệm riêngeλix ĐLTT của (2.22). Do đó, NTQ của phương trình (2.22) là
3. Phương trình vi phân cấp hai 115
2. Nếu PTĐT (2.23) cónnghiệm khác nhau, nhưng trong đó có một nghiệmλi =α+iβ
nào đó là nghiệm phức. Khi đó α−iβ là nghiệm phức liên hợp của λi. Đối với cặp nghiệm phức liên hợp này, eαxcosβx và eαxsinβx là các nghiệm ĐLTT của (2.22). Như vậy, ứng với mỗi cặp nghiệm phức liên hợp α±iβ của PTĐT ta tìm được hai nghiệm riêng ĐLTT của phương trình (2.22) là eαxcosβx, eαxsinβx. Kết hợp chúng với các nghiệm ĐLTT khác ta được NTQ của PT đã cho, chẳng hạn như,
y=C1eλ1x+C2eλ2x+· · ·Ci1eαxcosβx+Ci2eαxsinβx+· · ·+Cneλnx.
3. Nếu PTĐT có nghiệmλi nào đó bộikthìk nghiệm ĐLTT tương ứng là
eλix, xeλix, x2eλix, . . . , xk−1eλix.
Kết hợp chúng với các nghiệm ĐLTT khác ta được NTQ của PT đã cho.
4. Nếu PTĐT có cặp nghiệm phức λi =α±iβ nào đó bộik thì2k nghiệm ĐLTT tương ứng là
eαxcosβx, xeαxcosβx, . . . , xk−1eαxcosβx,
và
eαxsinβx, xeαxsinβx, . . . , xk−1eαxsinβx.
Kết hợp chúng với các nghiệm ĐLTT khác ta được NTQ của PT đã cho
3.9 Bài tập ôn tập
Bài tập 3.12. Giải phương trình
(x2+ 1)y′′+ 2xy′+ 4y
x2+ 1 = 2x
(x2+ 1)2
với phép biến đổix= tant.
Bài tập 3.13. Giải phương trình
y′′ y′3 + 2
y′ −x+y =eycosy
bằng cách coixlà hàm củay.
Bài tập 3.14. Giải các phương trình sau
a) y′′−2my′+m2y= (x−1)emx+ 2 sinx, m∈R, b) y′′−2y′+y = exx + (2x−1)ex+ 2.
Bài tập 3.15. Tìm bốn số hạng đầu tiên khác không của chuỗi luỹ thừa mà tổng của chuỗi đó là nghiệm của phương trình sau
a) y′′−x−y2 = 0, y(0) = 0, y′(0) = 1, b) y′′ = (2x−1)y−1, y(0) = 0, y′(0) = 1,
c) (x2−1)y′′+ 4xy′+ 2y = 0, y(0) = 0, y′(0) = 1, d) y′′+xy′+y = 0, y(0) = 0, y′(0) = 2.