nghĩa là đạo hàm cấp hai của x tỉ lệ với xnhưng có dấu ngược lại. Chúng ta đã biết hai hàm số có tính chất này ở phổ thông, đó là các hàm số sine và cosine. Thực tế, mọi nghiệm của phương trình 2.2 đều có thể viết dưới dạng tổ hợp của các hàm số sine và cosine. Điều này có lẽ cũng không gây ngạc nhiên, bởi vì chúng ta dự đoán rằng vật thể này sẽ dao động xung quanh điểm cân bằng của lò xo, cho nên sẽ thật hợp lý nếu nghiệm của nó có chứa các hàm lượng giác.
Ví dụ 0.2. Chứng minh rằng với mọi C1, C2 ∈ R, các hàm số sau đây đều là nghiệm của phương trình 2.2: x(t) = C1cos r k m +C2sin r k m.
§1. CÁC KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU
• Phương trình vi phân (viết tắt: PTVP) là những phương trình có dạng
F(x, y, y′, y′′, . . . , y(n)) = 0,
trong đó x là biến số độc lập, y = y(x) là hàm số phải tìm, y′, y′′, . . . , y(n) là các đạo hàm của nó.
• Nghiệm của PTVP: là hàm sốy=y(x)thỏa mãn phương trình trên.
• Giải PTVP: là tìm tất cả các nghiệm của nó.
• Cấp của PTVP: là cấp cao nhất của đạo hàm củaycó mặt trong phương trình.
• PTVP tuyến tính là những phương trình mà hàm sốF là hàm bậc nhất đối với các biếny, y′, . . . , y(n). Dạng tổng quát của PTVP tuyến tính cấpn là:
y(n)+a1(x)y(n−1)(x) +· · ·+an−1(x)y′ +an(x)y =f(x),
trong đóa1(x),· · · , an(x)là những hàm số cho trước.
Ví dụ 1.1. Giải các PTVP sau a)y′ = sinx b)y′ = lnx c)y′′=xex.
Ví dụ 1.2. Chứng minh rằng mọi hàm số trong họ các hàm số sau đây
y= 1 +ce
t
1−cet
đều là một nghiệm của PTVPy′ = 1